ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 6 Номер 1072 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Составьте уравнение вида \( P(x) = 0 \), где \( P(x) \) — многочлен стандартного вида с целыми коэффициентами, если его корнями являются числа:

а) \( 1, -1, 2 \);
б) \( 1, 2, -2 \);
в) \( 1, -\sqrt{2} \);
г) \( 1, 3 — \sqrt{2} \).

Составить уравнение:

а) \( x_1 = 1, \, x_2 = -1, \, x_3 = 2 \);
\[
(x — 1)(x + 1)(x — 2) = 0;
\]

\[
(x^2 — 1)(x — 2) = 0;
\]

\[
x^3 — 2x^2 — x + 2 = 0;
\]

б) \( x_1 = 1, \, x_2 = 2, \, x_3 = -2 \);
\[
(x — 1)(x — 2)(x + 2) = 0;
\]

\[
(x — 1)(x^2 — 4) = 0;
\]

\[
x^3 — x^2 — 4x + 4 = 0;
\]

в) \( x_1 = 1, \, x_2 = -\sqrt{2} \);
\[
(x — 1)\left(x + \sqrt{2}\right)\left(x — \sqrt{2}\right) = 0;
\]

\[
(x — 1)(x^2 — 2) = 0;
\]

\[
x^3 — x^2 — 2x + 2 = 0;
\]

г) \( x_1 = 1, \, x_2 = 3 — \sqrt{2} \);

\[
(x — 1)\left(x — (3 — \sqrt{2})\right)\left(x — (3 + \sqrt{2})\right) = 0;
\]

\[
(x — 1)(x^2 — 6x + 7) = 0;
\]

\[
x^3 — 7x^2 + 13x — 7 = 0;
\]

Задача: Составьте уравнение вида \( P(x) = 0 \), где \( P(x) \) — многочлен стандартного вида с целыми коэффициентами, если его корнями являются числа:

а) \( 1, -1, 2 \);

Шаг 1: Для того чтобы составить многочлен с корнями \( 1, -1, 2 \), используем факт, что если \( x_1, x_2, x_3 \) — корни многочлена, то многочлен можно записать в виде:

\( P(x) = (x — x_1)(x — x_2)(x — x_3) \)

Подставляем корни \( x_1 = 1 \), \( x_2 = -1 \), \( x_3 = 2 \):

\( P(x) = (x — 1)(x + 1)(x — 2) \)

Шаг 2: Упростим выражение:

\( (x — 1)(x + 1) = x^2 — 1 \), так как это разность квадратов.

Теперь умножим результат на \( (x — 2) \):

\( (x^2 — 1)(x — 2) = x^3 — 2x^2 — x + 2 \)

Ответ для а): \( P(x) = x^3 — 2x^2 — x + 2 = 0 \).

б) \( 1, 2, -2 \);

Шаг 1: Подставляем корни \( x_1 = 1 \), \( x_2 = 2 \), \( x_3 = -2 \):

\( P(x) = (x — 1)(x — 2)(x + 2) \)

Шаг 2: Упростим выражение:

\( (x — 2)(x + 2) = x^2 — 4 \), так как это разность квадратов.

Теперь умножим результат на \( (x — 1) \):

\( (x — 1)(x^2 — 4) = x^3 — x^2 — 4x + 4 \)

Ответ для б): \( P(x) = x^3 — x^2 — 4x + 4 = 0 \).

в) \( 1, -\sqrt{2} \);

Шаг 1: Подставляем корни \( x_1 = 1 \), \( x_2 = -\sqrt{2} \), \( x_3 = \sqrt{2} \) (так как корни идут парами для выражений с квадратными корнями):

\( P(x) = (x — 1)(x + \sqrt{2})(x — \sqrt{2}) \)

Шаг 2: Упростим выражение \( (x + \sqrt{2})(x — \sqrt{2}) = x^2 — 2 \), так как это разность квадратов.

Теперь умножим результат на \( (x — 1) \):

\( (x — 1)(x^2 — 2) = x^3 — x^2 — 2x + 2 \)

Ответ для в): \( P(x) = x^3 — x^2 — 2x + 2 = 0 \).

г) \( 1, 3 — \sqrt{2} \);

Шаг 1: Подставляем корни \( x_1 = 1 \), \( x_2 = 3 — \sqrt{2} \), \( x_3 = 3 + \sqrt{2} \) (пара корней для выражений с квадратными корнями):

\( P(x) = (x — 1)(x — (3 — \sqrt{2}))(x — (3 + \sqrt{2})) \)

Шаг 2: Упростим выражение \( (x — (3 — \sqrt{2}))(x — (3 + \sqrt{2})) \). Это разность квадратов, так как:

\( (x — (3 — \sqrt{2}))(x — (3 + \sqrt{2})) = (x — 3)^2 — (\sqrt{2})^2 = (x — 3)^2 — 2 \)

Теперь раскроем \( (x — 3)^2 \):

\( (x — 3)^2 — 2 = x^2 — 6x + 9 — 2 = x^2 — 6x + 7 \)

Теперь умножим на \( (x — 1) \):

\( (x — 1)(x^2 — 6x + 7) = x^3 — 7x^2 + 13x — 7 \)

Ответ для г): \( P(x) = x^3 — 7x^2 + 13x — 7 = 0 \).

Итог: Мы составили уравнения для всех предложенных корней:

• а) \( P(x) = x^3 — 2x^2 — x + 2 = 0 \);
• б) \( P(x) = x^3 — x^2 — 4x + 4 = 0 \);
• в) \( P(x) = x^3 — x^2 — 2x + 2 = 0 \);
• г) \( P(x) = x^3 — 7x^2 + 13x — 7 = 0 \);