ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 6 Номер 1071 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что уравнение

\[
\sqrt{x — 4} + 2x = \sqrt{12 — 3x}
\]

не имеет корней.

Уравнение не имеет корней:

\[
\sqrt{x — 4} + 2x = \sqrt{12 — 3x};
\]

1) Область определения:
\[
x — 4 \geq 0, \quad x \geq 4;
\]

\[
12 — 3x \geq 0, \quad x \leq 4;
\]

2) Выполним проверку:
\[
\sqrt{4 — 4} + 2 \cdot 4 = \sqrt{12 — 3 \cdot 4};
\]

\[\sqrt{0} + 8 = \sqrt{0},\] 8=0,  x∈∅

Что и требовалось доказать.

Задача: Докажите, что уравнение

\( \sqrt{x — 4} + 2x = \sqrt{12 — 3x} \)

Шаг 1: Найдем область определения уравнения. В уравнении присутствуют два выражения под корнями, и чтобы эти выражения имели смысл, их содержимое должно быть неотрицательным (так как квадратный корень из отрицательного числа в области действительных чисел не существует). То есть необходимо, чтобы выполнялись следующие условия:

• Для \( \sqrt{x — 4} \): Чтобы выражение \( x — 4 \) было неотрицательным, необходимо, чтобы \( x — 4 \geq 0 \), что эквивалентно \( x \geq 4 \). Таким образом, для существования этого корня необходимо, чтобы \( x \geq 4 \).
• Для \( \sqrt{12 — 3x} \): Чтобы выражение \( 12 — 3x \) было неотрицательным, необходимо, чтобы \( 12 — 3x \geq 0 \), что эквивалентно \( x \leq 4 \). Таким образом, для существования этого корня необходимо, чтобы \( x \leq 4 \).

Шаг 2: Таким образом, область определения уравнения требует, чтобы \( x \geq 4 \) и одновременно \( x \leq 4 \). Эти два условия могут быть выполнены только в том случае, если \( x = 4 \). Это означает, что единственным возможным значением для \( x \), при котором оба выражения под корнями будут определены, является \( x = 4 \).

Шаг 3: Подставим \( x = 4 \) в исходное уравнение и проверим, выполняется ли оно для этого значения:

\( \sqrt{x — 4} + 2x = \sqrt{12 — 3x} \)

Подставляем \( x = 4 \):

\( \sqrt{4 — 4} + 2 \cdot 4 = \sqrt{12 — 3 \cdot 4} \)

Упростим обе части уравнения:

\( \sqrt{0} + 8 = \sqrt{0} \), что даёт:

\( 0 + 8 = 0 \), или \( 8 = 0 \), что является явным противоречием.

Шаг 4: Полученное противоречие (8 не может быть равно 0) показывает, что \( x = 4 \) не является решением уравнения. Следовательно, уравнение не имеет корней, так как единственное возможное значение для \( x \), при котором уравнение может быть определено, не удовлетворяет самому уравнению.

Ответ: Уравнение не имеет корней, так как при подстановке \( x = 4 \) мы получаем противоречие.