ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 6 Номер 1070 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

При каких значениях параметра \( a \) предикат \( \overline{A(x)} \) будет тождеством, если:

а) \( A(x): x \geq ax — 4 \);
б) \( A(x): a^2 + x^2 \geq 2x \).

Является тождеством \( \overline{A(x)} \):

— а) \( A(x): x \geq ax + 4 \);
\[
\overline{A(x)}: x < ax + 4;
\]

\[
x — ax < 4;
\]

\[
x(1 — a) < 4;
\]

\[
1 — a = 0, \quad a = 1;
\]

Ответ: \(\{1\}\).

— б) \( A(x): a^2 + x^2 < 2x \);
\[
\overline{A(x)}: a^2 + x^2 \geq 2x;
\]

\[
x^2 — 2x + a^2 \geq 0;
\]

\[
D = 2^2 — 4a^2 \leq 0;
\]

\[
4 — 4a^2 \leq 0;
\]

\[
a^2 — 1 \geq 0;
\]

\[
(a + 1)(a — 1) \geq 0;
\]

\[
a \leq -1, \quad a \geq 1;
\]

Ответ: \((-\infty; -1] \cup [1; +\infty)\).

Задача: При каких значениях параметра \( a \) предикат \( \overline{A(x)} \) будет тождеством, если:

а) \( A(x): x \geq ax — 4 \);

Шаг 1: Рассмотрим неравенство \( A(x): x \geq ax — 4 \). Мы хотим найти такие значения \( a \), при которых его отрицание \( \overline{A(x)} \) будет тождеством.

Шаг 2: Запишем отрицание \( A(x) \):

\( \overline{A(x)}: x < ax + 4 \)

Шаг 3: Упростим неравенство:

\( x — ax < 4 \)

Выносим \( x \) за скобки:

\( x(1 — a) < 4 \)

Шаг 4: Чтобы это неравенство было тождественно истинным для всех \( x \), коэффициент перед \( x \) должен быть равен нулю, то есть:

\( 1 — a = 0 \), следовательно, \( a = 1 \).

Ответ для а): \(\{1\}\)

б) \( A(x): a^2 + x^2 \geq 2x \);

Шаг 1: Рассмотрим неравенство \( A(x): a^2 + x^2 \geq 2x \). Мы хотим найти такие значения \( a \), при которых его отрицание \( \overline{A(x)} \) будет тождеством.

Шаг 2: Запишем отрицание \( A(x) \):

\( \overline{A(x)}: a^2 + x^2 < 2x \)

Шаг 3: Перепишем неравенство в стандартной форме:

\( x^2 — 2x + a^2 < 0 \)

Шаг 4: Это неравенство должно быть выполнено для всех \( x \), поэтому рассмотрим дискриминант этого квадратного неравенства:

Дискриминант \( D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot a^2 = 4 — 4a^2 \).

Шаг 5: Для того чтобы неравенство \( x^2 — 2x + a^2 < 0 \) всегда было выполнено, дискриминант должен быть неотрицательным, то есть \( D \leq 0 \). Получаем:

\( 4 — 4a^2 \leq 0 \), что даёт \( a^2 \geq 1 \).

Шаг 6: Это неравенство можно записать как:

\( (a + 1)(a — 1) \geq 0 \)

Шаг 7: Решаем это неравенство. Решения: \( a \leq -1 \) или \( a \geq 1 \).

Ответ для б): \( a \in (-\infty; -1] \cup [1; +\infty) \).

Ответ:

• Для \( a \) из пункта а) \(\{1\}\);
• Для \( a \) из пункта б) \( a \in (-\infty; -1] \cup [1; +\infty) \).