ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 6 Номер 1067 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Изобразите на координатной прямой множество тех значений переменной \( x \), для которых предикат \( A(x) \) принимает значение «истина», если:

а) \( A(x): 3x^2 — |x| — 4 \leq 0 \);
б) \( A(x): \frac{3x^2 — |x| — 4}{4x^2 — |x| — 3} \geq 0 \).

Предикат \( \overline{A(x)} \) является верным:

а) \( A(x): 3x^2 — |x| — 4 \leq 0 \);
\( \overline{A(x)}: 3x^2 — |x| — 4 > 0 \);

Если \( x \geq 0 \), тогда:

\[
D = 1^2 + 4 \cdot 3 \cdot 4 = 1 + 48 = 49;
\]

\[
x_1 = \frac{1 — 7}{2 \cdot 3} = -1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{1 + 7}{2 \cdot 3} = 1 \frac{1}{3};
\]

\[
(x + 1)\left(x — 1 \frac{1}{3}\right) > 0;
\]

\[
x < -1, \quad x > 1 \frac{1}{3};
\]

Все решения:
\[
x < -1 \frac{1}{3}, \quad x > 1 \frac{1}{3};
\]

На координатной прямой:

б) \( A(x): \frac{3x^2 — |x| — 4}{4x^2 — |x| — 3} \geq 0 \);
\( \overline{A(x)}: \frac{3x^2 — |x| — 4}{4x^2 — |x| — 3} < 0 \);

Если \( x \geq 0 \), тогда:
\[
3x^2 — x — 4 < 0;
\]

\[
D = 1^2 + 4 \cdot 3 \cdot 4 = 1 + 48 = 49;
\]

\[
x_1 = \frac{1 — 7}{2 \cdot 3} = -1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{1 + 7}{2 \cdot 3} = 1 \frac{1}{3};
\]

\[
x_3 = \frac{1 — 7}{2 \cdot 4} = -\frac{3}{4} \quad \text{и} \quad x_4 = \frac{1 + 7}{2 \cdot 4} = 1;
\]

\[
(x + 1)\left(x — 1 \frac{1}{3}\right) < 0;
\]

\[
-1 < x < -\frac{3}{4}, \quad 1 < x < 1 \frac{1}{3};
\]

Все решения:
\[
-1 \frac{1}{3} < x < -1, \quad 1 < x < 1 \frac{1}{3};
\]

На координатной прямой:

Задача: Изобразите на координатной прямой множество тех значений переменной \( x \), для которых предикат \( A(x) \) принимает значение «истина», если:

а) \( A(x): 3x^2 — |x| — 4 \leq 0 \);

Шаг 1: Рассмотрим предикат \( A(x) \):

\( A(x): 3x^2 — |x| — 4 \leq 0 \)

Для решения неравенства \( 3x^2 — |x| — 4 \leq 0 \), рассмотрим два случая, в зависимости от значения \( x \), так как выражение содержит модуль:

• Если \( x \geq 0 \), то \( |x| = x \): Неравенство превращается в \( 3x^2 — x — 4 \leq 0 \). Для этого решим квадратное неравенство:

Для неравенства \( 3x^2 — x — 4 \leq 0 \), решим его через дискриминант:

Дискриминант \( D = (-1)^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 1 + 48 = 49 \),

Корни: \( x_1 = \frac{-(-1) — \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{1 — 7}{6} = -1 \), и \( x_2 = \frac{1 + 7}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \).

Неравенство \( (x + 1)(x — \frac{4}{3}) \leq 0 \), решаем его:

Решения: \( -1 \leq x \leq \frac{4}{3} \).

Шаг 2: Для \( x \geq 0 \), на координатной прямой это будет отрезок \( [0, \frac{4}{3}] \).

Шаг 3: Рассмотрим второй случай, когда \( x < 0 \), тогда \( |x| = -x \). Неравенство будет выглядеть так:

Неравенство \( 3x^2 + x — 4 \leq 0 \). Решим его через дискриминант:

Дискриминант \( D = (1)^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 1 + 48 = 49 \),

Корни: \( x_1 = \frac{-1 — \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 — 7}{6} = -\frac{4}{3} \), и \( x_2 = \frac{-1 + 7}{6} = \frac{6}{6} = 1 \).

Неравенство \( (x + \frac{4}{3})(x — 1) \leq 0 \), решаем его:

Решения: \( -\frac{4}{3} \leq x \leq 1 \).

Ответ для а): Объединяя решения для обоих случаев, получаем: \( x \in \left[-\frac{4}{3}; \frac{4}{3} \right] \).

б) \( A(x): \frac{3x^2 — |x| — 4}{4x^2 — |x| — 3} \geq 0 \);

Шаг 1: Рассмотрим выражение для предиката:

\( A(x): \frac{3x^2 — |x| — 4}{4x^2 — |x| — 3} \geq 0 \)

Для этого нужно решить неравенство, исследуя знак числителя и знаменателя. Рассмотрим два случая:

• Если \( x \geq 0 \), то \( |x| = x \), и выражение принимает вид \( \frac{3x^2 — x — 4}{4x^2 — x — 3} \geq 0 \). Для этого найдем корни числителя и знаменателя.

Числитель: \( 3x^2 — x — 4 = 0 \), дискриминант \( D = (-1)^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 1 + 48 = 49 \), корни: \( x_1 = \frac{-(-1) — \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = -1 \) и \( x_2 = \frac{1 + 7}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \).

Знаменатель: \( 4x^2 — x — 3 = 0 \), дискриминант \( D = (-1)^2 — 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49 \), корни: \( x_1 = -\frac{3}{4} \) и \( x_2 = 1 \).

Шаг 2: Рассматриваем знаки числителя и знаменателя на интервалах, получаем, что решение неравенства для \( x \geq 0 \) будет на интервалах \( (-1, -\frac{3}{4}) \cup (1, \frac{4}{3}) \).

Шаг 3: Если \( x < 0 \), тогда \( |x| = -x \), и снова решаем неравенство. Ответ для отрицательных значений \( x \) будет аналогичен.

Ответ для б): Множество решений: \( (-1 \frac{1}{3}, -1) \cup (1, 1 \frac{1}{3}) \). На координатной прямой это два отрезка.