ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 6 Номер 1063 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите множество решений уравнения:

а) \( (x^2 — 1)^2 + |y — 2| = 0 \);
б) \( x^2 + y^2 — 2y + 1 = 0 \);
в) \( (x^2 — 1)^2 + (y^2 — 2)^2 = 0 \).

Решить уравнение:

а) \( (x^2 — 1)^2 + |y — 2| = 0 \);
\[
x^2 — 1 = 0, \quad x^2 = 1, \quad x = \pm 1;
\]

\[
|y — 2| = 0, \quad y — 2 = 0, \quad y = 2;
\]

Ответ: \( (-1; 2); (1; 2) \).

б) \( x^2 + y^2 — 2y + 1 = 0 \);
\[
x^2 + (y — 1)^2 = 0;
\]

\[
y — 1 = 0, \quad y = 1;
\]

\[
x^2 = 0, \quad x = 0;
\]

Ответ: \( (0; 1) \).

в) \( (x^2 — 1)^2 + (y^2 — 2)^2 = 0 \);
\[
x^2 — 1 = 0, \quad x^2 = 1, \quad x = \pm 1;
\]

\[
y^2 — 2 = 0, \quad y^2 = 2, \quad y = \pm \sqrt{2};
\]

Ответ: \( (-1; \sqrt{2}); (-1; -\sqrt{2}); (1; \sqrt{2}); (1; -\sqrt{2}) \).

Задача: Решить уравнение:

а) \( (x^2 — 1)^2 + |y — 2| = 0 \);

Шаг 1: Рассмотрим уравнение:

\( (x^2 — 1)^2 + |y — 2| = 0 \)

Это уравнение состоит из двух частей. Первая часть — \( (x^2 — 1)^2 \), и вторая часть — \( |y — 2| \). Каждое из этих выражений должно быть неотрицательным, так как квадрат любого числа и модуль любого числа всегда неотрицательны. Следовательно, чтобы сумма этих двух выражений была равна нулю, каждое из них должно быть равно нулю.

Шаг 2: Решаем первое уравнение \( (x^2 — 1)^2 = 0 \):

Так как квадрат выражения всегда неотрицателен, мы получаем:

\( x^2 — 1 = 0 \), что даёт \( x^2 = 1 \), следовательно, \( x = \pm 1 \).

Шаг 3: Решаем второе уравнение \( |y — 2| = 0 \):

Модуль числа равен нулю только в случае, если само число равно нулю. Следовательно, получаем:

\( y — 2 = 0 \), что даёт \( y = 2 \).

Ответ: \( (-1; 2); (1; 2) \).

б) \( x^2 + y^2 — 2y + 1 = 0 \);

Шаг 1: Преобразуем уравнение:

\( x^2 + y^2 — 2y + 1 = 0 \)

Можно заметить, что выражение \( y^2 — 2y + 1 \) является полным квадратом, и его можно записать как \( (y — 1)^2 \). Получаем:

\( x^2 + (y — 1)^2 = 0 \)

Шаг 2: Поскольку сумма квадратов двух чисел равна нулю, оба числа должны быть равны нулю. Таким образом, получаем:

\( x^2 = 0 \), следовательно, \( x = 0 \);

\( (y — 1)^2 = 0 \), следовательно, \( y — 1 = 0 \), что даёт \( y = 1 \).

Ответ: \( (0; 1) \).

в) \( (x^2 — 1)^2 + (y^2 — 2)^2 = 0 \);

Шаг 1: Рассмотрим уравнение:

\( (x^2 — 1)^2 + (y^2 — 2)^2 = 0 \)

Аналогично первому примеру, сумма двух квадратов может быть равна нулю, только если каждый из этих квадратов равен нулю. Таким образом, решаем два уравнения:

Шаг 2: Решаем \( (x^2 — 1)^2 = 0 \):

Получаем \( x^2 — 1 = 0 \), что даёт \( x^2 = 1 \), следовательно, \( x = \pm 1 \).

Шаг 3: Решаем \( (y^2 — 2)^2 = 0 \):

Получаем \( y^2 — 2 = 0 \), что даёт \( y^2 = 2 \), следовательно, \( y = \pm \sqrt{2} \).

Ответ: \( (-1; \sqrt{2}); (-1; -\sqrt{2}); (1; \sqrt{2}); (1; -\sqrt{2}) \).