ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 6 Номер 1058 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Дан предикат от трёх переменных. Сколько высказываний можно получить из него путём добавления к каждой переменной квантора всеобщности или квантора существования? Дайте ответ на тот же вопрос, если предикат содержит 4, 5, \( n \) переменных.

Каждая из \( n \) переменных может иметь по два квантора, следовательно всего существует \( 2^n \) высказываний:

\( n = 3 \), \( N = 2^3 = 8 \);
\( n = 4 \), \( N = 2^4 = 16 \);
\( n = 5 \), \( N = 2^5 = 32 \);

Ответ: 8; 16; 32; \( 2^n \)

Задача: Дан предикат от трёх переменных. Сколько высказываний можно получить из него путём добавления к каждой переменной квантора всеобщности или квантора существования? Дайте ответ на тот же вопрос, если предикат содержит 4, 5, \( n \) переменных.

Ответ: Для начала давайте разберемся, что такое кванторы существования (\( \exists \)) и всеобщности (\( \forall \)), и как они используются в логике для превращения предиката в высказывание.

Шаг 1: Что такое кванторы?

• Квантор всеобщности (\( \forall \)): Этот квантор утверждает, что некое свойство или утверждение верно для всех элементов некоторого множества. Например, утверждение \( \forall x \, (x^2 \geq 0) \) означает, что для всех \( x \) квадрат числа не может быть меньше нуля.
• Квантор существования (\( \exists \)): Этот квантор утверждает, что существует хотя бы один элемент множества, для которого верно определенное свойство. Например, утверждение \( \exists x \, (x^2 = 4) \) означает, что существует хотя бы одно значение \( x \), которое удовлетворяет этому равенству (в данном случае \( x = 2 \) или \( x = -2 \)).

Шаг 2: Количество высказываний с кванторами для \( n \) переменных

Предположим, что у нас есть предикат от \( n \) переменных. Например, пусть это будет предикат \( P(a_1, a_2, \dots, a_n) \). Для того чтобы превратить этот предикат в высказывание, мы можем добавить к каждой переменной один из двух кванторов: квантор существования (\( \exists \)) или квантор всеобщности (\( \forall \)).

Шаг 3: Как вычисляется количество возможных высказываний?

Каждая переменная может быть связана с одним из двух кванторов: либо \( \forall \), либо \( \exists \). Таким образом, для каждой из \( n \) переменных существует 2 возможных выбора квантора. Следовательно, общее количество способов формирования высказываний с кванторами для \( n \) переменных равно:

Общее количество высказываний = \( 2^n \), где \( n \) — это количество переменных.

Это объясняется тем, что для каждой переменной мы можем выбрать один из двух кванторов, и все эти выборы независимы, то есть количество способов выбора кванторов для \( n \) переменных будет равно \( 2 \times 2 \times \dots \times 2 = 2^n \), где произведение повторяется \( n \) раз.

Шаг 4: Применение формулы для конкретных значений \( n \)

Теперь применим эту формулу для различных значений \( n \):

• Для \( n = 3 \) переменных: Мы можем выбрать квантор для каждой из 3 переменных, то есть количество возможных высказываний будет равно \( 2^3 = 8 \).
• Для \( n = 4 \) переменных: Количество возможных высказываний будет равно \( 2^4 = 16 \).
• Для \( n = 5 \) переменных: Количество возможных высказываний будет равно \( 2^5 = 32 \).

Шаг 5: Общий вывод

Таким образом, для предиката от \( n \) переменных количество возможных высказываний с кванторами существования или всеобщности будет равно \( 2^n \). Это означает, что для 3 переменных существует 8 возможных высказываний, для 4 переменных — 16 высказываний, для 5 переменных — 32 высказывания, и так далее для любого значения \( n \).

Ответ: 4 способа для \( n = 3 \), 16 способов для \( n = 4 \), 32 способа для \( n = 5 \), и \( 2^n \) способов для \( n \) переменных.