ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 6 Номер 1056 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Предикат

а) \( 5x + 2 = 22 \);
б) \( 5x^2 + 22 = 2 \)

снабдили сначала одним, а потом другим из двух кванторов. Запишите высказывания, которые при этом получились. Что можно сказать об их истинности?

Заданы предикаты:

а) \( 5x + 2 = 22 \);
Предложения с кванторами:
\( \exists x \, | \, 5x + 2 = 22 \) — истинно;
\( \forall x \, | \, 5x + 2 = 22 \) — ложно;

б) \( 5x^2 + 22 = 2 \);
Предложения с кванторами:

\( \exists x \, | \, 5x^2 + 22 = 2 \) — ложно;
\( \forall x \, | \, 5x^2 + 22 = 2 \) — ложно;

Заданы предикаты:

а) \( 5x + 2 = 22 \)

Предложение с квантором существует (\( \exists x \)):

\( \exists x \, | \, 5x + 2 = 22 \) — истинно;

Пояснение: существует хотя бы одно значение \( x \), которое удовлетворяет этому уравнению. Мы можем найти такое значение \( x \), подставив его в уравнение. Решение уравнения \( 5x + 2 = 22 \) даст \( x = 4 \), что является истинным, так как при подставлении этого значения уравнение выполняется.

Предложение с квантором для всех (\( \forall x \)):

\( \forall x \, | \, 5x + 2 = 22 \) — ложно;

Пояснение: для всех \( x \) это утверждение не выполняется, так как не существует такого значения \( x \), которое делает \( 5x + 2 = 22 \) истинным для всех \( x \). Мы знаем, что решение уравнения существует только для одного значения \( x = 4 \), а не для всех значений \( x \). Следовательно, утверждение ложно.

б) \( 5x^2 + 22 = 2 \)

Предложение с квантором существует (\( \exists x \)):

\( \exists x \, | \, 5x^2 + 22 = 2 \) — ложно;

Пояснение: уравнение \( 5x^2 + 22 = 2 \) не имеет действительных решений, так как после упрощения получаем \( 5x^2 = -20 \), что невозможно для действительных чисел. Таким образом, утверждение ложно, так как не существует такого \( x \), которое удовлетворяет этому уравнению.

Предложение с квантором для всех (\( \forall x \)):

\( \forall x \, | \, 5x^2 + 22 = 2 \) — ложно;

Пояснение: так как для любого значения \( x \) уравнение \( 5x^2 + 22 = 2 \) не выполняется, это утверждение ложно для всех значений \( x \). Нет такого \( x \), которое могло бы удовлетворить этому уравнению.