ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 6 Номер 1055 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

При каком значении переменной \(a\) предикат \(ax^2 — 2|x| + 4 > 0\) будет тождественно истинным?

Задан предикат:

\[
ax^2 — 2|x| + 4 \geq 0;
\]

\[
D = 2^2 — 4 \cdot a \cdot 4;
\]

\[
D = 4 — 16a;
\]

\[
D = 4(1 — 4a);
\]

Является тождеством:

\[
a > 0, \quad 1 — 4a \leq 0;
\]

\[
4a \geq 1, \quad a \geq 0.25;
\]

Ответ: \( a \in [0.25; +\infty) \).

Задача: При каком значении переменной \(a\) предикат \( ax^2 — 2|x| + 4 > 0 \) будет тождественно истинным?

Шаг 1: Рассмотрим заданный предикат:

\( ax^2 — 2|x| + 4 > 0 \)

Шаг 2: Чтобы предикат был тождественно истинным, это неравенство должно быть выполнено для всех значений \( x \). Поскольку в предикате есть абсолютное значение \( |x| \), рассмотрим два случая:

• Когда \( x \geq 0 \), то \( |x| = x \), и неравенство принимает вид: \( ax^2 — 2x + 4 > 0 \);
• Когда \( x < 0 \), то \( |x| = -x \), и неравенство становится: \( ax^2 + 2x + 4 > 0 \);

Шаг 3: Рассмотрим первый случай (когда \( x \geq 0 \)). У нас есть неравенство:

\( ax^2 — 2x + 4 > 0 \)

Это неравенство является квадратичным по отношению к \( x \). Чтобы оно выполнялось для всех значений \( x \geq 0 \), необходимо, чтобы дискриминант соответствующего квадратного уравнения был неотрицателен.

Шаг 4: Найдем дискриминант для квадратного уравнения \( ax^2 — 2x + 4 = 0 \):

\( D = (-2)^2 — 4 \cdot a \cdot 4 = 4 — 16a \)

Дискриминант должен быть неотрицательным для того, чтобы у уравнения были действительные корни (или они отсутствовали, что также удовлетворяет условию неравенства для всех \( x \)).

Шаг 5: Условие на дискриминант:

\( D = 4 — 16a \geq 0 \)

Решаем это неравенство:

\( 4 \geq 16a \quad \Rightarrow \quad a \leq \frac{1}{4} \)

Шаг 6: Теперь рассмотрим второй случай (когда \( x < 0 \)). У нас есть неравенство:

\( ax^2 + 2x + 4 > 0 \)

Это также квадратичное неравенство. Дискриминант для этого уравнения будет таким же, как и для первого случая, так как коэффициенты при \( x^2 \) и свободный член одинаковы. Следовательно, условие на дискриминант остается тем же — он должен быть неотрицательным для всех значений \( x \), включая отрицательные.

Шаг 7: С учетом всех этих условий, получаем, что для того чтобы предикат был тождественно истинным, \( a \) должно быть больше нуля и одновременно удовлетворять условию \( a \geq \frac{1}{4} \), то есть:

\( a \geq \frac{1}{4} \)

Ответ: \( a \in [0.25; +\infty) \)