ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 999 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите \( f(g(x)) \), если:

a) \( f(x) = x^2 — 4x \), где \( x \leq 2 \), и \( g(x) = 2 — \sqrt{x + 4} \);

b) \( f(x) = x^2 — 6x + 8 \), где \( x \geq 3 \), и \( g(x) = \sqrt{x — 1} + 3 \).

Найти \( f(g(x)) \), если:

a) \( f(x) = x^2 — 4x \), \( x \leq 2 \), \( g(x) = 2 — \sqrt{x + 4} \);

\[
f(g(x)) = (2 — \sqrt{x + 4})^2 — 4(2 — \sqrt{x + 4}) =
\]

\[
= 4 — 4\sqrt{x + 4} + (x + 4) — 8 + 4\sqrt{x + 4} = x;
\]

Ответ: \( x \), \( x \geq -4 \).

b) \( f(x) = x^2 — 6x + 8 \), \( x \geq 3 \), \( g(x) = \sqrt{x — 1} + 3 \);

\[
f(g(x)) = (\sqrt{x — 1} + 3)^2 — 6(\sqrt{x — 1} + 3) + 8 =
\]

\[
= x — 1 + 6\sqrt{x — 1} + 9 — 6\sqrt{x — 1} — 18 + 8 = x — 2;
\]

Ответ: \( x — 2 \), \( x \geq 1 \).

Найти \( f(g(x)) \), если:

a) \( f(x) = x^2 — 4x \), \( x \leq 2 \), \( g(x) = 2 — \sqrt{x + 4} \)

Для нахождения композиции функций \( f(g(x)) \), подставим выражение для \( g(x) \) в \( f(x) \):

\( f(g(x)) = (2 — \sqrt{x + 4})^2 — 4(2 — \sqrt{x + 4}) \);

Шаг 1: Раскроем квадрат в первой части выражения:

\( (2 — \sqrt{x + 4})^2 = 4 — 4\sqrt{x + 4} + (x + 4); \)

Шаг 2: Умножим \( -4 \) на \( (2 — \sqrt{x + 4}) \) во второй части выражения:

\( -4(2 — \sqrt{x + 4}) = -8 + 4\sqrt{x + 4}; \)

Шаг 3: Подставим полученные выражения в исходную формулу:

\( f(g(x)) = 4 — 4\sqrt{x + 4} + (x + 4) — 8 + 4\sqrt{x + 4}; \)

Шаг 4: Упростим выражение, сокращая \( -4\sqrt{x + 4} \) и \( 4\sqrt{x + 4} \):

\( f(g(x)) = x + 4 — 8 + 4 = x; \)

Ответ: \( f(g(x)) = x, \quad x \geq -4 \).

b) \( f(x) = x^2 — 6x + 8 \), \( x \geq 3 \), \( g(x) = \sqrt{x — 1} + 3 \)

Для нахождения композиции функций \( f(g(x)) \), подставим выражение для \( g(x) \) в \( f(x) \):

\( f(g(x)) = (\sqrt{x — 1} + 3)^2 — 6(\sqrt{x — 1} + 3) + 8; \)

Шаг 1: Раскроем квадрат в первой части выражения:

\( (\sqrt{x — 1} + 3)^2 = x — 1 + 6\sqrt{x — 1} + 9; \)

Шаг 2: Умножим \( -6 \) на \( (\sqrt{x — 1} + 3) \) во второй части выражения:

\( -6(\sqrt{x — 1} + 3) = -6\sqrt{x — 1} — 18; \)

Шаг 3: Подставим полученные выражения в исходную формулу:

\( f(g(x)) = x — 1 + 6\sqrt{x — 1} + 9 — 6\sqrt{x — 1} — 18 + 8; \)

Шаг 4: Упростим выражение, сокращая \( 6\sqrt{x — 1} \) и \( -6\sqrt{x — 1} \):

\( f(g(x)) = x — 1 + 9 — 18 + 8 = x — 2; \)

Ответ: \( f(g(x)) = x — 2, \quad x \geq 1 \).