ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 997 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Постройте график функции, обратной данной:

a) \( y = \frac{1}{x^2 + 1} \), где \( x \geq 0 \);

b) \( y = -\sqrt{x} \);

в) \( y = \sqrt{9 — x^2} \), где \( x \leq 0 \).

Построить график обратной функции:

a) \( y = \frac{1}{x^2 + 1} \), где \( x \geq 0 \);

Координаты некоторых точек:
\[
\begin{array}{c|c}
x & y \\
\hline
0 & 1 \\
1 & 0.5 \\
2 & 0.2 \\
\end{array}
\]

График обратной функции:

b) \( y = -\sqrt{x} \);

Координаты некоторых точек:
\[
\begin{array}{c|c}
x & y \\
\hline
-4 & 2 \\
-1 & 1 \\
0 & 0 \\
\end{array}
\]

График обратной функции:

в) \( y = -\sqrt{x} \);

Координаты некоторых точек:
\[
\begin{array}{c|c}
x & y \\
\hline
0 & 0 \\
1 & -1 \\
4 & -2 \\
\end{array}
\]

График обратной функции:

г) \( y = \sqrt{9 — x^2} \), где \( x \leq 0 \);

Координаты некоторых точек:
\[
\begin{array}{c|c}
x & y \\
\hline
-3 & 0 \\
0 & 3 \\
\end{array}
\]

График обратной функции:

a) \( y = \frac{1}{x^2 + 1} \), где \( x \geq 0 \)

Давайте рассмотрим обратную функцию для \( y = \frac{1}{x^2 + 1} \). Чтобы найти обратную функцию, выразим \( x \) через \( y \):

\( y = \frac{1}{x^2 + 1} \);

Решаем относительно \( x \):

\( y(x^2 + 1) = 1 \);

\( x^2 + 1 = \frac{1}{y} \);

\( x^2 = \frac{1}{y} — 1 = \frac{1 — y}{y} \);

\( x = \sqrt{\frac{1 — y}{y}} \), где \( y \in (0, 1] \), так как \( y \) может быть только положительным и не превышать 1.

Для обратной функции будут такие же координаты, как и для исходной функции, но с изменёнными осями \( x \) и \( y \), то есть меняются местами значения \( x \) и \( y \). Например:

\[
\begin{array}{c|c}
x & y \\
\hline
1 & 0 \\
0.5 & 1 \\
0.2 & 2 \\
\end{array}
\]

b) \( y = -\sqrt{x} \)

Для функции \( y = -\sqrt{x} \), чтобы найти её обратную функцию, выразим \( x \) через \( y \):

\( y = -\sqrt{x} \);

\( \sqrt{x} = -y \);

\( x = y^2 \), при условии \( y \leq 0 \), так как исходная функция даёт отрицательные значения.

График обратной функции:

Координаты для обратной функции:

\[
\begin{array}{c|c}
x & y \\
\hline
0 & 0 \\
1 & -1 \\
4 & -2 \\
\end{array}
\]

График обратной функции:

Так как мы меняем местами значения \( x \) и \( y \), получится:

\[
\begin{array}{c|c}
x & y \\
\hline
0 & 0 \\
-1 & 1 \\
-2 & 4 \\
\end{array}
\]

в) \( y = -\sqrt{x} \)

Для функции \( y = -\sqrt{x} \), обратная функция будет та же самая, что и в пункте «b», потому что эта функция имеет аналогичный вид. Таким образом, обратная функция будет:

\( x = y^2, \quad y \leq 0 \);

График обратной функции будет аналогичен, с аналогичными координатами.

г) \( y = \sqrt{9 — x^2} \), где \( x \leq 0 \)

Для функции \( y = \sqrt{9 — x^2} \), чтобы найти обратную функцию, выразим \( x \) через \( y \):

\( y = \sqrt{9 — x^2} \);

\( y^2 = 9 — x^2 \);

\( x^2 = 9 — y^2 \);

\( x = -\sqrt{9 — y^2} \), так как \( x \leq 0 \) по условию.

Для обратной функции:

\[
\begin{array}{c|c}
x & y \\
\hline
-3 & 0 \\
0 & 3 \\
\end{array}
\]

Перевернув координаты, мы получаем график обратной функции с координатами \( x \) и \( y \) поменянными местами.