ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 995 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Задайте формулой функцию, обратную данной:

a) \( y = x^3 — 6x^2 + 12x — 8 \);

b) \( y = \sqrt{x — 2} + 1 \);

в) \( y = \frac{2x^3 — 2x}{x^2 — 1} \);

г) \( y = \frac{x^5 — x^3 — x^2 + 1}{x^3 — 1} \), где \( x \geq 0 \).

Найти обратную функцию:

a) \( y = x^3 — 6x^2 + 12x — 8 \);

\( y = x^3 — 3 \cdot 2x^2 + 3x \cdot 2^2 — 2^3 \);

\( y = (x — 2)^3 \);

Множество значений:
\[
(x — 2)^3 \in \mathbb{R}, \quad y \in \mathbb{R};
\]

Обратная функция:
\[
x = (y — 2)^3;
\]

\[
y — 2 = \sqrt[3]{x};
\]

\[
y = \sqrt[3]{x} + 2;
\]

Ответ: \( y = \sqrt[3]{x} + 2 \).

b) \( y = \sqrt{x — 2} + 1 \);

Множество значений:
\[
\sqrt{x — 2} \geq 0, \quad y \geq 1;
\]

Обратная функция:
\[
x = \sqrt{y — 2} + 1;
\]

\[
\sqrt{y — 2} = x — 1;
\]

\[
y — 2 = (x — 1)^2;
\]

\[
y = x^2 — 2x + 3, \quad x \geq 1.
\]

Ответ: \( y = x^2 — 2x + 3, \quad x \geq 1 \).

в) \( y = \frac{2x^3 — x^2 — 2x + 1}{x^2 — 1} \);

\( y = \frac{x^2(2x — 1) — (2x — 1)}{x^2 — 1} \);

\( y = \frac{(2x — 1)(x^2 — 1)}{x^2 — 1} = 2x — 1 \);

Множество значений:
\[
x^2 — 1 \neq 0, \quad x \neq \pm 1;
\]

\[
y \neq -2 — 1 = -3;
\]

\[
y \neq 2 — 1 = 1;
\]

Обратная функция:
\[
x = 2y — 1, \quad 2y = x + 1, \quad y = \frac{x + 1}{2};
\]

Ответ: \( y = \frac{x + 1}{2}, \quad x \neq -3, \quad x \neq 1 \).

г) \( y = \frac{x^5 — x^3 — x^2 + 1}{x^3 — 1}, \quad x \geq 0 \);

\( y = \frac{x^3(x^2 — 1) — (x^2 — 1)}{x^3 — 1} \);

\( y = \frac{(x^3 — 1)(x^2 — 1)}{x^3 — 1} = x^2 — 1 \);

Множество значений:
\[
x^2 \geq 0, \quad y \geq -1;
\]

\[
x \neq 1, \quad y \neq 0;
\]

Обратная функция:
\[
x = \sqrt{y + 1};
\]

\[
y^2 = x + 1;
\]

Ответ: \( y = \sqrt{x + 1}, \quad x \neq 0 \).

Найти обратную функцию:

a) \( y = x^3 — 6x^2 + 12x — 8 \)

Шаг 1: Преобразуем исходное уравнение:

\( y = x^3 — 6x^2 + 12x — 8 \);

Мы видим, что выражение \( x^3 — 6x^2 + 12x — 8 \) можно записать как куб разности:

\( y = (x — 2)^3 \);

Шаг 2: Множество значений функции:

Так как куб любого числа может быть любым действительным числом, то и значение \( (x — 2)^3 \) может принимать любые значения. Следовательно, множество значений функции:

\( (x — 2)^3 \in \mathbb{R}, \quad y \in \mathbb{R}; \)

Шаг 3: Теперь найдём обратную функцию. Для этого выразим \( x \) через \( y \):

\( x — 2 = \sqrt[3]{y}; \)

Теперь изолируем \( x \):

\( x = \sqrt[3]{y} + 2; \)

Ответ: \( y = \sqrt[3]{x} + 2 \).

b) \( y = \sqrt{x — 2} + 1 \)

Шаг 1: Множество значений функции:

Так как \( \sqrt{x — 2} \geq 0 \) для \( x \geq 2 \), то это даёт условие \( y \geq 1 \);

Шаг 2: Для нахождения обратной функции, выразим \( x \) через \( y \). Начнем с того, что \( y = \sqrt{x — 2} + 1 \), и из этого уравнения найдем \( x \):

\( y — 1 = \sqrt{x — 2}; \)

Теперь возведем обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня:

\( (y — 1)^2 = x — 2; \)

Изолируем \( x \):

\( x = (y — 1)^2 + 2; \)

Ответ: \( y = x^2 — 2x + 3, \quad x \geq 1 \).

в) \( y = \frac{2x^3 — x^2 — 2x + 1}{x^2 — 1} \)

Шаг 1: Преобразуем выражение:

\( y = \frac{2x^3 — x^2 — 2x + 1}{x^2 — 1} \);

Упростим числитель:

\( y = \frac{(2x — 1)(x^2 — 1)}{x^2 — 1} \);

Убираем общий множитель из числителя и знаменателя:

\( y = 2x — 1; \)

Шаг 2: Множество значений функции:

Так как знаменатель \( x^2 — 1 \) не может быть равен нулю, то \( x \neq \pm 1 \). Также \( y \) не может быть равным -3 или 1, так как для этих значений выражение в числителе и знаменателе имеет ноль.

Шаг 3: Теперь находим обратную функцию. Из уравнения \( y = 2x — 1 \) выразим \( x \):

\( 2x = y + 1; \)

\( x = \frac{y + 1}{2}; \)

Ответ: \( y = \frac{x + 1}{2}, \quad x \neq -3, \quad x \neq 1 \).

г) \( y = \frac{x^5 — x^3 — x^2 + 1}{x^3 — 1}, \quad x \geq 0 \)

Шаг 1: Преобразуем выражение:

\( y = \frac{x^5 — x^3 — x^2 + 1}{x^3 — 1} \);

Упрощаем числитель:

\( y = \frac{(x^3 — 1)(x^2 — 1)}{x^3 — 1} = x^2 — 1; \)

Шаг 2: Множество значений функции:

Так как \( x^2 \geq 0 \), то \( y \geq -1 \);

Кроме того, \( x \neq 1 \), а \( y \neq 0 \), так как эти значения дают ноль в знаменателе.

Шаг 3: Для нахождения обратной функции, из уравнения \( y = x^2 — 1 \) выразим \( x \):

\( x^2 = y + 1; \)

\( x = \sqrt{y + 1}; \)

Ответ: \( y = \sqrt{x + 1}, \quad x \neq 0 \).