ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 992 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите уравнение:
\[
|2x^2 + 5x — 3| = 2x — 1.
\]

Решить уравнение:
\[
|2x^2 + 5x — 3| = 2x — 1;
\]

1) Число под модулем:
\[
2x^2 + 5x — 3 \geq 0;
\]

\[
D = 5^2 + 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 + 24 = 49, \text{ тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{-5 — 7}{2 \cdot 2} = -3 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-5 + 7}{2 \cdot 2} = 0.5;
\]

\[
(x + 1)(x — 0.5) \geq 0;
\]

\[
x \leq -1, \quad x \geq 0.5;
\]

2) Область определения:
\[
2x — 1 \geq 0, \quad 2x \geq 1, \quad x \geq 0.5;
\]

3) Если \( x \geq 0.5 \), тогда:
\[
2x^2 + 5x — 3 = 2x — 1;
\]

\[
2x^2 + 3x — 2 = 0;
\]

\[
D = 3^2 + 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9 + 16 = 25, \text{ тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{-3 — 5}{2 \cdot 2} = -2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-3 + 5}{2 \cdot 2} = 0.5;
\]

Ответ: \( 0.5 \).

Решить уравнение:

\( |2x^2 + 5x — 3| = 2x — 1; \)

Шаг 1: Число под модулем:

Для начала, рассматриваем выражение под модулем:

\( 2x^2 + 5x — 3 \geq 0; \)

Шаг 2: Рассчитаем дискриминант для квадратного уравнения \( 2x^2 + 5x — 3 = 0 \):

\( D = 5^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49; \)

Теперь находим корни уравнения:

\( x_1 = \frac{-5 — 7}{2 \cdot 2} = -3, \quad x_2 = \frac{-5 + 7}{2 \cdot 2} = 0.5; \)

Таким образом, неравнение \( 2x^2 + 5x — 3 \geq 0 \) можно записать как:

\( (x + 1)(x — 0.5) \geq 0; \)

Решаем неравенство \( (x + 1)(x — 0.5) \geq 0 \). Мы получаем два интервала: \( x \leq -1 \) или \( x \geq 0.5 \).

Шаг 3: Область определения:

Теперь рассмотрим область определения. Для того чтобы выражение под модулем было корректно определено, \( 2x — 1 \geq 0 \). Это даёт условие:

\( x \geq 0.5; \)

Шаг 4: Подставим \( x \geq 0.5 \) в уравнение:

\( 2x^2 + 5x — 3 = 2x — 1; \)

Преобразуем уравнение:

\( 2x^2 + 5x — 3 — 2x + 1 = 0; \)

\( 2x^2 + 3x — 2 = 0; \)

Шаг 5: Рассчитаем дискриминант для полученного квадратного уравнения:

\( D = 3^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25; \)

Находим корни уравнения:

\( x_1 = \frac{-3 — 5}{2 \cdot 2} = -2, \quad x_2 = \frac{-3 + 5}{2 \cdot 2} = 0.5; \)

Шаг 6: Из полученных корней видим, что \( x = 0.5 \) является решением, так как оно удовлетворяет условию \( x \geq 0.5 \).

Ответ: \( x = 0.5 \).