ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 990 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите неравенство:

a) \( x — \sqrt[3]{2x + 4} < 0 \)

б) \( 64\sqrt{-x} — x^2 \leq 0 \)

Решить неравенство:

a) \( x — \sqrt[3]{2x + 4} < 0 \)

\( x < \sqrt[3]{2x + 4}; \)

\( x^3 < 2x + 4; \)

\( x^3 — 2x — 4 < 0; \)

\[
\begin{array}{c|c c c c}
& 1 & 0 & -2 & -4 \\
\hline
2 & 1 & 2 & 2 & 0 \\
\end{array}
\]

\( (x — 2)(x^2 + 2x + 2) < 0; \)

\( D = 2^2 — 4 \cdot 2 = 4 — 8 = -4; \)

\( D < 0 \) и \( a > 0 \), значит \( x < 2 \);

Ответ: \( (-\infty; 2) \).

б) \( 64\sqrt{-x} — x^2 \leq 0 \);

\( 64\sqrt{-x} \leq x^2; \)

\( -4096x \leq x^4; \)

\( x^4 + 4096x \geq 0; \)

\( x(x^3 + 4096) \geq 0; \)

\( x^3 \leq -4096, \, x \geq 0; \)

\( x \leq -16, \, x = 0; \)

Ответ: \( (-\infty; -16] \cup \{0\} \).

Решить неравенства:

а) \( x — \sqrt[3]{2x + 4} < 0 \)

Шаг 1: Перепишем неравенство:

\( x < \sqrt[3]{2x + 4}; \)

Шаг 2: Возведем обе стороны неравенства в третью степень, так как третья степень сохраняет знак неравенства:

\( x^3 < 2x + 4; \)

Шаг 3: Переносим все элементы на одну сторону:

\( x^3 — 2x — 4 < 0; \)

Шаг 4: Теперь необходимо решить кубическое неравенство. Для этого используем метод деления столбиком, чтобы разложить многочлен на множители. Применим деление на \( (x — 2) \), так как \( x = 2 \) является корнем этого многочлена. Делим \( x^3 — 2x — 4 \) на \( x — 2 \) и получаем результат:

\[
\begin{array}{c|c c c c}
& 1 & 0 & -2 & -4 \\
\hline
2 & 1 & 2 & 2 & 0 \\
\end{array}
\]

Шаг 5: Получаем разложение:

\( (x — 2)(x^2 + 2x + 2) < 0; \)

Шаг 6: Теперь нужно решить неравенство \( (x — 2)(x^2 + 2x + 2) < 0 \). Рассмотрим дискриминант для второго множителя \( x^2 + 2x + 2 \):

\( D = 2^2 — 4 \cdot 2 = 4 — 8 = -4; \)

Так как дискриминант отрицателен, то выражение \( x^2 + 2x + 2 \) всегда больше нуля для всех \( x \). Следовательно, знак неравенства зависит только от выражения \( x — 2 \), которое будет отрицательным, когда \( x < 2 \). Таким образом, неравенство выполняется при \( x < 2 \).

Ответ: \( (-\infty; 2) \).

б) \( 64\sqrt{-x} — x^2 \leq 0 \)

Шаг 1: Переносим все элементы на одну сторону:

\( 64\sqrt{-x} \leq x^2; \)

Шаг 2: Возводим обе стороны в квадрат, так как обе стороны неотрицательны (при условии, что \( x \leq 0 \), поскольку \( \sqrt{-x} \) определено только для отрицательных значений \( x \)):

\( 4096x \leq x^4; \)

Шаг 3: Переносим все элементы на одну сторону:

\( x^4 + 4096x \geq 0; \)

Шаг 4: Выносим общий множитель \( x \):

\( x(x^3 + 4096) \geq 0; \)

Шаг 5: Из этого неравенства получаем два случая для \( x \):

1) \( x \geq 0 \) и \( x^3 \leq -4096 \), что даёт \( x \leq -16 \);

2) \( x = 0 \), так как любое число в третьей степени всегда больше или равно нулю для \( x \geq 0 \);

Шаг 6: Таким образом, \( x \) может быть либо равен нулю, либо \( x \leq -16 \). Пересечение этих решений даёт ответ: \( x \in (-\infty; -16] \cup \{0\} \).

Ответ: \( (-\infty; -16] \cup \{0\} \).