ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 989 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите неравенство:

а) \(\frac{\sqrt{x+5} — 1}{5 — \sqrt{x+5}} > 0;\)

б) \(\frac{\sqrt[3]{1-x} — 2}{\sqrt[3]{1-x} + 3} > 0;\)

в) \((x^2 — 2x — 1)^{0.5} \leq 14(x^2 — 2x — 1)^{-0.5} — 5;\)

г) \((x^2 — 3x + 11)^{0.5} > 8(x^3 — 3x + 11)^{-0.5} — 2.\)

1. Решить неравенство:

а)
\(\frac{\sqrt{x+5} — 1}{5 — \sqrt{x+5}} \geq 0;\)
\(\frac{\sqrt{x+5} — 1}{\sqrt{x+5} — 5} \leq 0;\)
\(1 \leq \sqrt{x+5} < 5;\)
\(1 \leq x+5 < 25;\)
\(-4 \leq x < 20;\)
Ответ: \([-4; 20)\).

б)
\(\frac{\sqrt[3]{1-x} — 2}{\sqrt[3]{1-x} + 3} \geq 0;\)
\(\sqrt[3]{1-x} < -3, \, \sqrt[3]{1-x} \geq 2;\)
\(1 — x < -27, \, 1 — x \geq 8;\)
\(x > 28, \, x \leq -7;\)
Ответ: \((-\infty; -7] \cup (28; +\infty)\).

в)
\((x^2 — 2x — 1)^{0.5} \leq 14(x^2 — 2x — 1)^{-0.5} — 5;\)
Пусть \(y = x^2 — 2x — 1\), тогда:
\(\sqrt{y} \leq \frac{14}{\sqrt{y}} — 5;\)
\(\sqrt{y} + 5 — \frac{14}{\sqrt{y}} \leq 0;\)
\(y + 5\sqrt{y} — 14 \leq 0;\)
\(D = 5^2 + 4 \cdot 14 = 25 + 56 = 81,\) тогда:
\(\sqrt{y_1} = \frac{-5 — 9}{2} = -7, \, \sqrt{y_2} = \frac{-5 + 9}{2} = 2;\)
\((\sqrt{y} + 7)(\sqrt{y} — 2) \leq 0;\)
\(\sqrt{y} \leq 2, \, 0 < y \leq 4;\)

Первое неравенство:
\(x^2 — 2x — 1 > 0;\)
\(D = 2^2 + 4 + 1 = 4 + 4 = 8,\) тогда:
\(x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = 1 \pm \sqrt{2};\)
\(x < 1 — \sqrt{2}, \, x > 1 + \sqrt{2};\)

\(x^2 — 2x — 1 \leq 4;\)
\(x^2 — 2x — 5 \leq 0;\)
\(D = 2^2 + 4 \cdot 5 = 4 + 20 = 24,\) тогда:
\(x = \frac{2 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 1 \pm \sqrt{6};\)
\(1 — \sqrt{6} \leq x \leq 1 + \sqrt{6};\)
Ответ: \([1 — \sqrt{6}; 1 + \sqrt{6}]\).

г)
\((x^2 — 3x + 11)^{0.5} > 8(x^2 — 3x + 11)^{-0.5} — 2;\)
Пусть \(y = x^2 — 3x + 11,\) тогда:
\(\sqrt{y} > \frac{8}{\sqrt{y}} — 2;\)
\(\sqrt{y} + 2 — \frac{8}{\sqrt{y}} > 0;\)
\(y + 2\sqrt{y} — 8 > 0;\)
\(D = 2^2 + 4 \cdot 8 = 4 + 32 = 36,\) тогда:
\(\sqrt{y_1} = \frac{-2 — 6}{2} = -4, \, \sqrt{y_2} = \frac{-2 + 6}{2} = 2;\)
\((\sqrt{y} + 4)(\sqrt{y} — 2) > 0;\)
\(\sqrt{y} > 2, \, y > 4;\)

Вернем замену:
\(x^2 — 3x + 11 > 4;\)
\(x^2 — 3x + 7 > 0;\)
\(D = 3^2 — 4 \cdot 7 = 9 — 28 = -21;\)
\(D < 0,\) значит \(x \in \mathbb{R};\)
Ответ: \((-\infty; +\infty)\).

Решить неравенства:

а) \( \frac{\sqrt{x+5} — 1}{5 — \sqrt{x+5}} \geqslant 0; \)

Шаг 1: Рассмотрим неравенство:

\( \frac{\sqrt{x+5} — 1}{\sqrt{x+5} — 5} \leqslant 0; \)

Шаг 2: Чтобы решить неравенство, нужно найти такие значения \( x \), при которых числитель и знаменатель имеют противоположные знаки. Для этого, чтобы числитель и знаменатель были разных знаков, должны выполняться следующие условия:

1) \( 1 \leqslant \sqrt{x+5} < 5; \)

2) \( 1 \leqslant x + 5 < 25 \), что даёт \( -4 \leqslant x < 20; \)

Ответ: \( [-4; 20) \).

б) \( \frac{\sqrt[3]{1-x} — 2}{\sqrt[3]{1-x} + 3} \geqslant 0; \)

Шаг 1: Рассмотрим неравенство:

\( \sqrt[3]{1-x} < -3, \quad \sqrt[3]{1-x} \geqslant 2; \)

Шаг 2: Решим оба неравенства:

1) \( 1 — x < -27 \), что даёт \( x > 28 \);

2) \( 1 — x \geqslant 8 \), что даёт \( x \leqslant -7 \);

Шаг 3: Пересечение двух интервалов даёт: \( (-\infty; -7] \cup [28; +\infty) \);

Ответ: \( (-\infty; -7] \cup [28; +\infty) \).

в) \( (x^2 — 2x — 1)^{0.5} \leqslant 14(x^2 — 2x — 1)^{-0.5} — 5; \)

Шаг 1: Пусть \( y = x^2 — 2x — 1 \). Тогда:

\( \sqrt{y} \leqslant \frac{14}{\sqrt{y}} — 5; \)

Шаг 2: Преобразуем неравенство:

\( \sqrt{y} + 5 — \frac{14}{\sqrt{y}} \leqslant 0; \)

Шаг 3: Умножаем обе части на \( \sqrt{y} \) и упрощаем:

\( y + 5\sqrt{y} — 14 \leqslant 0; \)

Шаг 4: Рассчитываем дискриминант для квадратного уравнения:

\( D = 5^2 + 4 \cdot 14 = 25 + 56 = 81 \), тогда:

\( \sqrt{y_1} = \frac{-5 — 9}{2} = -7, \quad \sqrt{y_2} = \frac{-5 + 9}{2} = 2; \)

Шаг 5: Условие \( (\sqrt{y} + 7)(\sqrt{y} — 2) \leqslant 0 \) даёт:

\( \sqrt{y} \leqslant 2, \quad 0 < y \leqslant 4; \)

Шаг 6: Для неравенства \( x^2 — 2x — 1 > 0 \) находим дискриминант:

\( D = 2^2 + 4 \cdot 1 = 4 + 4 = 8 \), тогда:

\( x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}; \)

Шаг 7: Это даёт интервал \( x < 1 — \sqrt{2} \), или \( x > 1 + \sqrt{2} \). Второе неравенство даёт:

\( x^2 — 2x — 1 \leq 4; \)

\( x^2 — 2x — 5 \leq 0; \)

\( D = 2^2 + 4 \cdot 5 = 4 + 20 = 24 \), тогда:

\( x = \frac{2 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 1 \pm \sqrt{6}; \)

Это даёт интервал \( 1 — \sqrt{6} \leqslant x \leqslant 1 + \sqrt{6} \);

Шаг 8: Пересечение всех интервалов даёт окончательный ответ:

Ответ: \( [1 — \sqrt{6}; 1 + \sqrt{6}] \).

г) \( (x^2 — 3x + 11)^{0.5} > 8(x^2 — 3x + 11)^{-0.5} — 2; \)

Шаг 1: Пусть \( y = x^2 — 3x + 11 \). Тогда:

\( \sqrt{y} > \frac{8}{\sqrt{y}} — 2; \)

Шаг 2: Преобразуем неравенство:

\( \sqrt{y} + 2 — \frac{8}{\sqrt{y}} > 0; \)

Шаг 3: Умножаем обе части на \( \sqrt{y} \) и упрощаем:

\( y + 2\sqrt{y} — 8 > 0; \)

Шаг 4: Рассчитываем дискриминант для квадратного уравнения:

\( D = 2^2 + 4 \cdot 8 = 4 + 32 = 36 \), тогда:

\( \sqrt{y_1} = \frac{-2 — 6}{2} = -4, \quad \sqrt{y_2} = \frac{-2 + 6}{2} = 2; \)

Шаг 5: Условие \( (\sqrt{y} + 4)(\sqrt{y} — 2) > 0 \) даёт:

\( \sqrt{y} > 2, \quad y > 4; \)

Шаг 6: Возвращаем замену: \( x^2 — 3x + 11 > 4; \)

Шаг 7: Упростим неравенство:

\( x^2 — 3x + 7 > 0; \)

Рассчитываем дискриминант:

\( D = 3^2 — 4 \cdot 7 = 9 — 28 = -21; \)

Так как дискриминант отрицателен и коэффициент при \( x^2 \) положительный, это неравенство выполняется для всех значений \( x \).

Ответ: \( (-\infty; +\infty) \).