ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 988 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите множество решений неравенства
\(\sqrt{25 — x^2} + x(x — 5) \leq \sqrt{2x^2 — 50 — 5(5 — x)}\).

Найти множество решений неравенства:
\(\sqrt{25 — x^2} + x(x — 5) \leq \sqrt{2x^2 — 50 — 5(5 — x)}\)

1) Область определения:
\(25 — x^2 \geq 0, \, x^2 \leq 25;\)
\(2x^2 — 50 \geq 0, \, x^2 \geq 25;\)
\(x^2 = 25, \, x = \pm 5;\)

2) Если \(x = -5,\) тогда:
\(0 — 5(-5 — 5) \leq 0 — 5(5 + 5);\)
\(-5 \cdot (-10) \leq -5 \cdot 10, \, x \in \emptyset;\)

3) Если \(x = 5,\) тогда:
\(5(5 — 5) \leq -5(5 — 5);\)
\(5 \cdot 0 \leq -5 \cdot 0, \, x = 5;\)

Ответ: \(x = 5.\)

Решить неравенство:

\( \sqrt{25 — x^2} + x(x — 5) \leq \sqrt{2x^2 — 50 — 5(5 — x)} \)

Шаг 1: Область определения:

Для того чтобы решить это неравенство, необходимо учитывать, что подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Разберем каждое из них:

1) Из выражения \( \sqrt{25 — x^2} \) получаем неравенство:

\( 25 — x^2 \geq 0 \), что даёт:

\( x^2 \leq 25 \), то есть \( |x| \leq 5 \), или \( -5 \leq x \leq 5 \);

2) Из выражения \( \sqrt{2x^2 — 50} \) получаем неравенство:

\( 2x^2 — 50 \geq 0 \), что даёт:

\( x^2 \geq 25 \), или \( |x| \geq 5 \);

Шаг 2: Пересечение условий области определения:

Пересечение условий \( |x| \leq 5 \) и \( |x| \geq 5 \) даёт \( x = \pm 5 \). Таким образом, область определения: \( x = 5 \) или \( x = -5 \).

Шаг 3: Проверим значение при \( x = -5 \):

Подставляем \( x = -5 \) в исходное неравенство:

\( \sqrt{25 — (-5)^2} + (-5)((-5) — 5) \leq \sqrt{2(-5)^2 — 50 — 5(5 — (-5))} \)

Преобразуем выражения:

\( \sqrt{25 — 25} + (-5)(-10) \leq \sqrt{2 \cdot 25 — 50 — 5(10)} \)

\( 0 + 50 \leq \sqrt{50 — 50 — 50} \)

\( 50 \leq 0, \quad x \in \emptyset \)

При \( x = -5 \) неравенство не выполняется, следовательно, \( x = -5 \) не является решением.

Шаг 4: Проверим значение при \( x = 5 \):

Подставляем \( x = 5 \) в исходное неравенство:

\( \sqrt{25 — 5^2} + 5(5 — 5) \leq \sqrt{2 \cdot 5^2 — 50 — 5(5 — 5)} \)

Преобразуем выражения:

\( \sqrt{25 — 25} + 5 \cdot 0 \leq \sqrt{2 \cdot 25 — 50 — 5 \cdot 0} \)

\( 0 + 0 \leq \sqrt{50 — 50} \)

\( 0 \leq 0, \quad x = 5 \)

При \( x = 5 \) неравенство выполняется, следовательно, \( x = 5 \) является решением.

Ответ: \( x = 5 \).