ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 986 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите неравенство:

а) \( (x — 8)\sqrt{15 — 5x} < 0 \);

б) \( (x^2 — 9)\sqrt{16 — x^2} > 0 \);

в) \( (24 + 5x — x^2)\sqrt[4]{x^2 — 5x — 14} \geq 0 \);

г) \( (x^2 — 3x + 8)\sqrt[4]{x^2 — x — 56} \leq 0 \).

Решить неравенство:

а) \( (x — 8)\sqrt{15 — 5x} < 0 \);

Первое неравенство:

\( x — 8 < 0, \; x < 8 \);

Второе неравенство:

\( 15 — 5x \geq 0, \; x \leq 3 \);

Ответ: \( (-\infty; 3) \).
б) \( (x^2 — 9)\sqrt{16 — x^2} > 0 \);

Первое неравенство:

\( x^2 — 9 > 0 \);

\( (x + 3)(x — 3) > 0 \);

\( x < -3, \; x > 3 \);

Второе неравенство:

\( 16 — x^2 \geq 0 \);

\( (x + 4)(x — 4) \leq 0 \);

\( -4 \leq x \leq 4 \);

Ответ: \( (-4; -3) \cup (3; 4) \).
в) \( (24 + 5x — x^2)\sqrt[4]{x^2 — 5x — 14} \geq 0 \);

Первое неравенство:

\( 24 + 5x — x^2 \geq 0 \);

\( x^2 — 5x — 24 \leq 0 \);

\( D = 5^2 + 4 \cdot 24 = 25 + 96 = 121 \), тогда:

\( x_1 = \frac{5 — 11}{2} = -3 \) и \( x_2 = \frac{5 + 11}{2} = 8 \);

\( (x + 3)(x — 8) \leq 0 \);

\( -3 \leq x \leq 8 \);

Второе неравенство:

\( x^2 — 5x — 14 \geq 0 \);

\( D = 5^2 + 4 \cdot 14 = 25 + 56 = 81 \), тогда:

\( x_1 = \frac{5 — 9}{2} = -2 \) и \( x_2 = \frac{5 + 9}{2} = 7 \);

\( (x + 2)(x — 7) \geq 0 \);

\( x \leq -2, \; x \geq 7 \);

Ответ: \( [-3; -2] \cup [7; 8] \).
г) \( (x^2 — 3x + 8)\sqrt[4]{x^2 — x — 56} \leq 0 \);

Первое неравенство:

\( x^2 — 3x + 8 \leq 0 \);

\( D = 3^2 — 4 \cdot 8 = 9 — 32 = -23 \);

\( D < 0 \) и \( a > 0 \) \);

Второе неравенство:

\( x^2 — x — 56 \geq 0 \);

\( D = 1^2 + 4 \cdot 56 = 1 + 224 = 225 \), тогда:

\( x_1 = \frac{1 — 15}{2} = -7 \) и \( x_2 = \frac{1 + 15}{2} = 8 \);

\( (x + 7)(x — 8) \geq 0 \);

\( x \leq -7, \; x \geq 8 \);

Ответ: \( (-7; 8]  \).

Решить неравенство:

а) \( (x — 8)\sqrt{15 — 5x} < 0 \);

Шаг 1: Рассмотрим первое неравенство: \( x — 8 < 0 \). Это дает, что:

\( x < 8 \);

Шаг 2: Рассмотрим второе неравенство: \( 15 — 5x \geq 0 \). Это требует, чтобы:

\( 5x \leq 15 \), то есть \( x \leq 3 \);

Шаг 3: Теперь рассмотрим область определения для функции \( \sqrt{15 — 5x} \), так как подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Поэтому \( 15 — 5x \geq 0 \), что даёт условие \( x \leq 3 \). Таким образом, область определения для данного неравенства: \( x \in (-\infty; 3) \), при этом также \( x < 8 \), что уже покрывается предыдущим условием.

Шаг 4: Таким образом, пересечение интервалов даёт конечный результат: \( x \in (-\infty; 3) \).

Ответ: \( (-\infty; 3) \).

б) \( (x^2 — 9)\sqrt{16 — x^2} > 0 \);

Шаг 1: Рассмотрим первое неравенство: \( x^2 — 9 > 0 \). Мы можем разложить его на множители:

\( (x + 3)(x — 3) > 0 \);

Решая это неравенство, получаем два интервала:

\( x < -3 \) или \( x > 3 \). То есть, \( x \in (-\infty; -3) \cup (3; +\infty) \);

Шаг 2: Теперь рассмотрим второе неравенство: \( 16 — x^2 \geq 0 \). Мы можем разложить его на множители:

\( (x + 4)(x — 4) \leq 0 \);

Это неравенство выполняется при \( -4 \leq x \leq 4 \), то есть \( x \in [-4; 4] \);

Шаг 3: Пересекаем два найденных интервала: \( (-\infty; -3) \cup (3; +\infty) \) и \( [-4; 4] \). Пересечение даёт два интервала: \( (-4; -3) \) и \( (3; 4) \);

Ответ: \( (-4; -3) \cup (3; 4) \).

в) \( (24 + 5x — x^2)\sqrt[4]{x^2 — 5x — 14} \geq 0 \);

Шаг 1: Рассмотрим первое неравенство: \( 24 + 5x — x^2 \geq 0 \). Перепишем его как:

\( x^2 — 5x — 24 \leq 0 \);

Рассчитаем дискриминант для этого уравнения:

\( D = 5^2 + 4 \cdot 24 = 25 + 96 = 121 \), тогда:

\( x_1 = \frac{5 — 11}{2} = -3 \), и \( x_2 = \frac{5 + 11}{2} = 8 \);

Решение данного неравенства: \( (x + 3)(x — 8) \leq 0 \), что даёт:

Интервал \( -3 \leq x \leq 8 \);

Шаг 2: Теперь рассмотрим второе неравенство: \( x^2 — 5x — 14 \geq 0 \). Рассчитаем дискриминант для этого уравнения:

\( D = 5^2 + 4 \cdot 14 = 25 + 56 = 81 \), тогда:

\( x_1 = \frac{5 — 9}{2} = -2 \), и \( x_2 = \frac{5 + 9}{2} = 7 \);

Решение данного неравенства: \( (x + 2)(x — 7) \geq 0 \), что даёт:

Интервал \( x \leq -2 \) или \( x \geq 7 \);

Шаг 3: Пересекаем два найденных интервала: \( -3 \leq x \leq 8 \) и \( x \leq -2 \) или \( x \geq 7 \). Пересечение даёт два интервала: \( [-3; -2] \) и \( [7; 8] \);

Ответ: \( [-3; -2] \cup [7; 8] \).

г) \( (x^2 — 3x + 8)\sqrt[4]{x^2 — x — 56} \leq 0 \);

Шаг 1: Рассмотрим первое неравенство: \( x^2 — 3x + 8 \leq 0 \). Рассчитаем дискриминант для этого уравнения:

\( D = 3^2 — 4 \cdot 8 = 9 — 32 = -23 \);

Поскольку дискриминант отрицателен, уравнение не имеет действительных корней. Так как коэффициент при \( x^2 \) положительный, это неравенство не выполняется для всех значений \( x \), и, следовательно, не имеет решений.

Шаг 2: Рассмотрим второе неравенство: \( x^2 — x — 56 \geq 0 \). Рассчитаем дискриминант для этого уравнения:

\( D = 1^2 + 4 \cdot 56 = 1 + 224 = 225 \), тогда:

\( x_1 = \frac{1 — 15}{2} = -7 \), и \( x_2 = \frac{1 + 15}{2} = 8 \);

Решение данного неравенства: \( (x + 7)(x — 8) \geq 0 \), что даёт:

Интервал \( x \leq -7 \) или \( x \geq 8 \);

Шаг 3: Поскольку первое неравенство не имеет решений, результатом будет только второй интервал: \( (-7; 8] \);

Ответ: \( (-7; 8] \).