ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 985 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Используя свойства монотонности функций, решите неравенство:

а) \( \sqrt{x + 2} + \sqrt{5x — 1} + \sqrt{3x + 10} \leq 9 \);

б) \( (x + 5)^{\frac{1}{3}} + (2x — 5)^{\frac{1}{2}} + (5x + 1)^{\frac{1}{4}} \leq 5 \).

Решить неравенство:

а) \( \sqrt{x + 2} + \sqrt{5x — 1} + \sqrt{3x + 10} \leq 9 \);

Левая часть неравенства возрастает:

\( f(2) = \sqrt{4} + \sqrt{9} + \sqrt{16} = 2 + 3 + 4 = 9 \);

Область определения:

\( x + 2 \geq 0, \; x \geq -2 \);

\( 5x — 1 \geq 0, \; x \geq 0.2 \);

\( 3x + 10 \geq 0, \; x \geq -3\frac{1}{3} \);

Ответ: \([0.2; 2]\).

б) \( (x + 5)^{\frac{1}{3}} + (2x — 5)^{\frac{1}{2}} + (5x + 1)^{\frac{1}{4}} \leq 5 \);

Левая часть неравенства возрастает:

\( f(3) = 8^{\frac{1}{3}} + 1^{\frac{1}{2}} + 16^{\frac{1}{4}} = 2 + 1 + 2 = 5 \);

Область определения:

\( x + 5 \geq 0, \; x \geq -5 \);

\( 2x — 5 \geq 0, \; x \geq 2.5 \);

\( 5x + 1 \geq 0, \; x \geq -0.2 \);

Ответ: \([2.5; 3]\).

Решить неравенство:

а) \( \sqrt{x + 2} + \sqrt{5x — 1} + \sqrt{3x + 10} \leq 9 \);

Шаг 1: Левая часть неравенства возрастает, так как каждая из составляющих функций монотонна.

Шаг 2: Проверим значение функции в точке \( x = 2 \):

\( f(2) = \sqrt{4} + \sqrt{9} + \sqrt{16} = 2 + 3 + 4 = 9 \);

Шаг 3: Область определения для каждого из корней:

\( x + 2 \geq 0, \quad x \geq -2 \);

\( 5x — 1 \geq 0, \quad x \geq 0.2 \);

\( 3x + 10 \geq 0, \quad x \geq -\frac{10}{3} \);

Шаг 4: Пересечение всех условий области определения даёт:

\( x \geq 0.2 \);

Шаг 5: Из неравенства получаем: \( x \in [0.2; 2] \).

Ответ: \( [0.2; 2] \).

б) \( (x + 5)^{\frac{1}{3}} + (2x — 5)^{\frac{1}{2}} + (5x + 1)^{\frac{1}{4}} \leq 5 \);

Шаг 1: Левая часть неравенства возрастает, так как каждая из составляющих функций монотонна.

Шаг 2: Проверим значение функции в точке \( x = 3 \):

\( f(3) = 8^{\frac{1}{3}} + 1^{\frac{1}{2}} + 16^{\frac{1}{4}} = 2 + 1 + 2 = 5 \);

Шаг 3: Область определения для каждого из корней:

\( x + 5 \geq 0, \quad x \geq -5 \);

\( 2x — 5 \geq 0, \quad x \geq 2.5 \);

\( 5x + 1 \geq 0, \quad x \geq -\frac{1}{5} \);

Шаг 4: Пересечение всех условий области определения даёт:

\( x \geq 2.5 \);

Шаг 5: Из неравенства получаем: \( x \in [2.5; 3] \).

Ответ: \( [2.5; 3] \).