ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 984 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите неравенство:

а) \( \frac{\sqrt{x — 4} — 2}{8 — \sqrt{x — 4}} < 2 \);

б) \( \frac{\sqrt{2x — 5} — 1}{\sqrt{2x — 5} + 1} > 3 \);

в) \( x^2 + x^{-\frac{1}{2}} > \frac{3}{5}(x — x^{-1}) \);

г) \( x^3 + x^{-\frac{1}{3}} > \frac{3}{4}(x^{\frac{2}{3}} — x^{-\frac{2}{3}}) \).

Решить неравенство:

а) \( \frac{\sqrt{x — 4} — 2}{8 — \sqrt{x — 4}} < 2 \);

\( \frac{\sqrt{x — 4} — 2 — 16 + 2\sqrt{x — 4}}{8 — \sqrt{x — 4}} < 0 \);

\( \frac{3\sqrt{x — 4} — 18}{\sqrt{x — 4} — 8} > 0 \);

\( \sqrt{x — 4} < 6, \; \sqrt{x — 4} > 8 \);

\( x — 4 < 36, \; x — 4 > 64 \);

\( x < 40, \; x > 68 \);

Область определения:

\( x — 4 \geq 0, \; x \geq 4 \);

Ответ: \([4; 40) \cup (68; +\infty)\).

б) \( \frac{\sqrt{2x — 5} — 1}{\sqrt{2x — 5} + 1} > 3 \);

\( \sqrt{2x — 5} — 1 > 3(\sqrt{2x — 5} + 1) \);

\( \sqrt{2x — 5} — 1 > 3\sqrt{2x — 5} + 3 \);

\( 2\sqrt{2x — 5} < -4 \);

\( x \notin \mathbb{R} \);

Ответ: решений нет.

в) \( x^2 + x^{-\frac{1}{2}} \geq \frac{3}{5}(x — x^{-1}) \);

Пусть \( y = x^{\frac{1}{2}} \), тогда:

\( y + \frac{1}{y} \geq \frac{3}{5}\left(y^2 — \frac{1}{y^2}\right) \);

\( y + \frac{1}{y} \geq \frac{3}{5}\left(y — \frac{1}{y}\right)\left(y + \frac{1}{y}\right) \);

\( \frac{3}{5}\left(1 — \frac{1}{y^2}\right) \leq 1 \);

\( y — \frac{1}{y} \leq \frac{5}{3} \);

\( \frac{3y^2 — 5y — 3}{3y} < 0 \);

\( D = 5^2 + 4 \cdot 3 \cdot 3 = 25 + 36 = 61 \), тогда:

\( y_1 = \frac{5 — \sqrt{61}}{6}, \; y_2 = \frac{5 + \sqrt{61}}{6} \);

\( y < \frac{5 — \sqrt{61}}{6}, \; 0 < y < \frac{5 + \sqrt{61}}{6} \);

\( 0 < x^{\frac{1}{2}} < \frac{5 + \sqrt{61}}{6}, \; 0 < x < \frac{43 + 5\sqrt{61}}{18} \);

Ответ: \( \left(0; \frac{43 + 5\sqrt{61}}{18}\right) \).

г) \( x^{\frac{1}{3}} + x^{-\frac{1}{3}} \geq \frac{3}{4}(x^{\frac{2}{3}} — x^{-\frac{2}{3}}) \);

Пусть \( y = x^{\frac{1}{3}} \), тогда:

\( y + \frac{1}{y} \geq \frac{3}{4}\left(y^2 — \frac{1}{y^2}\right) \);

\( y + \frac{1}{y} \geq \frac{3}{4}\left(y — \frac{1}{y}\right)\left(y + \frac{1}{y}\right) \);

\( \frac{3}{4}\left(1 — \frac{1}{y^2}\right) \leq 1 \);

\( y — \frac{1}{y} \leq \frac{4}{3} \);

\( \frac{3y^2 — 4y — 3}{3y} < 0 \);

\( D = 4^2 + 4 \cdot 3 \cdot 3 = 16 + 36 = 52 \), тогда:

\( y = \frac{4 \pm \sqrt{52}}{2 \cdot 3} = \frac{4 \pm 2\sqrt{13}}{6} = \frac{2 \pm \sqrt{13}}{3} \);

\( y < \frac{2 + \sqrt{13}}{3}, \; 0 < y < \frac{2 + \sqrt{13}}{3} \);

\( 0 < x^{\frac{1}{3}} < \frac{2 + \sqrt{13}}{3}, \; 0 < x < \frac{86 + 25\sqrt{13}}{27} \);

Ответ: \( \left(0; \frac{86 + 25\sqrt{13}}{27}\right) \).

Решить неравенство:

а) \( \frac{\sqrt{x — 4} — 2}{8 — \sqrt{x — 4}} < 2 \);

Шаг 1: Начнем с преобразования левой части:

\( \frac{\sqrt{x — 4} — 2}{8 — \sqrt{x — 4}} < 2 \);

Шаг 2: Переносим все члены в одну сторону:

\( \frac{\sqrt{x — 4} — 2 — 16 + 2\sqrt{x — 4}}{8 — \sqrt{x — 4}} < 0 \);

Шаг 3: Упрощаем выражение:

\( \frac{3\sqrt{x — 4} — 18}{\sqrt{x — 4} — 8} > 0 \);

Шаг 4: Решаем неравенство:

\( \sqrt{x — 4} < 6, \quad \sqrt{x — 4} > 8 \);

Шаг 5: Возводим в квадрат:

\( x — 4 < 36, \quad x — 4 > 64 \);

Шаг 6: Из этого получаем:

\( x < 40, \quad x > 68 \);

Шаг 7: Область определения:

\( x — 4 \geq 0, \quad x \geq 4 \);

Ответ: \( [4; 40) \cup (68; +\infty) \).

б) \( \frac{\sqrt{2x — 5} — 1}{\sqrt{2x — 5} + 1} > 3 \);

Шаг 1: Начнем с неравенства:

\( \frac{\sqrt{2x — 5} — 1}{\sqrt{2x — 5} + 1} > 3 \);

Шаг 2: Переносим все члены в одну сторону:

\( \sqrt{2x — 5} — 1 > 3(\sqrt{2x — 5} + 1) \);

Шаг 3: Упрощаем:

\( \sqrt{2x — 5} — 1 > 3\sqrt{2x — 5} + 3 \);

Шаг 4: Переносим все элементы с \( \sqrt{2x — 5} \) в одну сторону:

\( 2\sqrt{2x — 5} < -4 \);

Шаг 5: Это не может быть выполнено, так как левая часть всегда неотрицательная, а правая — отрицательная.

Ответ: решений нет.

в) \( x^2 + x^{-\frac{1}{2}} \geq \frac{3}{5}(x — x^{-1}) \);

Шаг 1: Пусть \( y = x^{\frac{1}{2}} \), тогда:

\( y + \frac{1}{y} \geq \frac{3}{5}\left(y^2 — \frac{1}{y^2}\right) \);

Шаг 2: Умножаем обе части на \( y \):

\( y + \frac{1}{y} \geq \frac{3}{5}\left(y — \frac{1}{y}\right)\left(y + \frac{1}{y}\right) \);

Шаг 3: Упростим выражение:

\( \frac{3}{5}\left(1 — \frac{1}{y^2}\right) \leq 1 \);

Шаг 4: Из этого получаем:

\( y — \frac{1}{y} \leq \frac{5}{3} \);

Шаг 5: Решаем неравенство:

\( \frac{3y^2 — 5y — 3}{3y} < 0 \);

Шаг 6: Рассчитываем дискриминант:

\( D = 5^2 + 4 \cdot 3 \cdot 3 = 25 + 36 = 61 \), тогда:

Шаг 7: Находим корни:

\( y_1 = \frac{5 — \sqrt{61}}{6}, \quad y_2 = \frac{5 + \sqrt{61}}{6} \);

Шаг 8: Разбираем неравенство:

\( 0 < x^{\frac{1}{2}} < \frac{5 + \sqrt{61}}{6}, \quad 0 < x < \frac{43 + 5\sqrt{61}}{18} \);

Ответ: \( \left(0; \frac{43 + 5\sqrt{61}}{18}\right) \).

г) \( x^{\frac{1}{3}} + x^{-\frac{1}{3}} \geq \frac{3}{4}(x^{\frac{2}{3}} — x^{-\frac{2}{3}}) \);

Шаг 1: Пусть \( y = x^{\frac{1}{3}} \), тогда:

\( y + \frac{1}{y} \geq \frac{3}{4}\left(y^2 — \frac{1}{y^2}\right) \);

Шаг 2: Умножаем обе части на \( y \):

\( y + \frac{1}{y} \geq \frac{3}{4}\left(y — \frac{1}{y}\right)\left(y + \frac{1}{y}\right) \);

Шаг 3: Упростим выражение:

\( \frac{3}{4}\left(1 — \frac{1}{y^2}\right) \leq 1 \);

Шаг 4: Из этого получаем:

\( y — \frac{1}{y} \leq \frac{4}{3} \);

Шаг 5: Решаем неравенство:

\( \frac{3y^2 — 4y — 3}{3y} < 0 \);

Шаг 6: Рассчитываем дискриминант:

\( D = 4^2 + 4 \cdot 3 \cdot 3 = 16 + 36 = 52 \), тогда:

Шаг 7: Находим корни:

\( y = \frac{4 \pm \sqrt{52}}{2 \cdot 3} = \frac{4 \pm 2\sqrt{13}}{6} = \frac{2 \pm \sqrt{13}}{3} \);

Шаг 8: Разбираем неравенство:

\( 0 < x^{\frac{1}{3}} < \frac{2 + \sqrt{13}}{3}, \quad 0 < x < \frac{86 + 25\sqrt{13}}{27} \);

Ответ: \( \left(0; \frac{86 + 25\sqrt{13}}{27}\right) \).