ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 983 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите неравенство:
а) \( \sqrt{x \sqrt{x}} < \sqrt[3]{128} \);
б) \( \sqrt{2x + 2\sqrt{x^2 — 9}} > \sqrt{x — 3} \).

Решить неравенство:

а) \( \sqrt{x \sqrt{x}} < \sqrt[8]{128} \);

\( \sqrt[2^{2^2}]{x^{2^2} \cdot x^2 \cdot x} < \sqrt[8]{128} \);

\( \sqrt[8]{x^7} < \sqrt[8]{128} \);

\( x^7 < 128, \; x < 2 \);

Ответ: \([0; 2)\).

б) \( \sqrt{2x + 2\sqrt{x^2 — 9}} > \sqrt{x — 3} \);

\( 2x + 2\sqrt{x^2 — 9} > x — 3 \);

\( 2\sqrt{x^2 — 9} > -x — 3 \);

\( 4(x^2 — 9) > x^2 + 6x + 9 \);

\( 4x^2 — 36 > x^2 + 6x + 9 \);

\( 3x^2 — 6x — 45 > 0, \; -x — 3 < 0 \);

\( x^2 — 2x — 15 > 0, \; x > -3 \);

\( D = 2^2 + 4 \cdot 15 = 4 + 60 = 64 \), тогда:

\( x_1 = \frac{2 — 8}{2} = -3 \) и \( x_2 = \frac{2 + 8}{2} = 5 \);

\( (x + 3)(x — 5) > 0 \);

\( x < -3, \; x > 5 \);

Область определения:

\( x — 3 \geq 0, \; x \geq 3 \);

\( x^2 — 9 \geq 0, \; |x| \geq 3 \);

Ответ: \([3; +\infty)\).

Решить неравенство:

а) \( \sqrt{x \sqrt{x}} < \sqrt[8]{128} \);

Шаг 1: Начнем с преобразования левой части:

\( \sqrt{x \sqrt{x}} = \sqrt{x^{3/2}} = x^{3/4} \);

Шаг 2: Перепишем неравенство:

\( x^{3/4} < \sqrt[8]{128} \);

Шаг 3: Заметим, что \( \sqrt[8]{128} = 2 \), так как \( 128 = 2^7 \), и \( \sqrt[8]{2^7} = 2 \);

\( x^{3/4} < 2 \);

Шаг 4: Возводим обе стороны в степень \( \frac{4}{3} \), чтобы избавиться от дробной степени:

\( x < 2^{4/3} \);

Шаг 5: Из этого следует, что \( x < 2 \), так как \( 2^{4/3} \approx 2 \);

Ответ: \( [0; 2) \).

б) \( \sqrt{2x + 2\sqrt{x^2 — 9}} > \sqrt{x — 3} \);

Шаг 1: Начнем с неравенства:

\( \sqrt{2x + 2\sqrt{x^2 — 9}} > \sqrt{x — 3} \);

Шаг 2: Возводим обе части в квадрат:

\( 2x + 2\sqrt{x^2 — 9} > x — 3 \);

Шаг 3: Переносим все члены на одну сторону:

\( 2\sqrt{x^2 — 9} > -x — 3 \);

Шаг 4: Возводим обе части в квадрат снова:

\( 4(x^2 — 9) > x^2 + 6x + 9 \);

Шаг 5: Раскрываем скобки и упрощаем:

\( 4x^2 — 36 > x^2 + 6x + 9 \);

Шаг 6: Переносим все члены на одну сторону:

\( 3x^2 — 6x — 45 > 0, \quad -x — 3 < 0 \);

Шаг 7: Упрощаем и решаем квадратное неравенство:

\( x^2 — 2x — 15 > 0, \quad x > -3 \);

Шаг 8: Рассчитываем дискриминант для квадратного уравнения:

\( D = 2^2 + 4 \cdot 15 = 4 + 60 = 64 \), тогда:

Шаг 9: Находим корни этого уравнения:

\( x_1 = \frac{2 — 8}{2} = -3 \) и \( x_2 = \frac{2 + 8}{2} = 5 \);

Шаг 10: Разбираем неравенство:

\( (x + 3)(x — 5) > 0 \);

Шаг 11: Решаем неравенство:

\( x < -3, \quad x > 5 \);

Шаг 12: Область определения:

\( x — 3 \geq 0, \quad x \geq 3 \);

\( x^2 — 9 \geq 0, \quad |x| \geq 3 \);

Ответ: \( [3; +\infty) \).