ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 982 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите множество решений неравенства:

а) \( x^{\frac{1}{2}} — 7x^{\frac{1}{4}} + 6 < 0 \);

б) \( x^{\frac{1}{3}} — 5x^{\frac{1}{6}} + 6 > 0 \);

в) \( \frac{x^{\frac{1}{3}} — 4}{x^{\frac{2}{3}} + 2} — \frac{x^{\frac{1}{3}} — 1}{x^{\frac{2}{3}} — 1} < 3 \);

г) \( \frac{x^{\frac{1}{3}} — 9}{x^{\frac{1}{3}} — 3} — \frac{x^{\frac{1}{3}} — 4}{x^{\frac{1}{3}} + 21} > 5 \).

Решить неравенство:

а) \( x^{\frac{1}{2}} — 7x^{\frac{1}{4}} + 6 < 0 \);

\[
D = 7^2 — 4 \cdot 6 = 49 — 24 = 25, \text{тогда:}
\]

\[
x^{\frac{1}{4}}_1 = \frac{7 — 5}{2} = 1 \quad \text{и} \quad x^{\frac{1}{4}}_2 = \frac{7 + 5}{2} = 6;
\]

\[
\left(x^{\frac{1}{4}} — 1\right)\left(x^{\frac{1}{4}} — 6\right) < 0;
\]

\[
1 < x^{\frac{1}{4}} < 6;
\]

\[
1 < x < 1296;
\]

Ответ: \((1; 1296)\).

б) \( x^{\frac{1}{3}} — 5x^{\frac{1}{6}} + 6 > 0 \);

\[
D = 5^2 — 4 \cdot 6 = 25 — 24 = 1, \text{тогда:}
\]

\[
x^{\frac{1}{6}}_1 = \frac{5 — 1}{2} = 2 \quad \text{и} \quad x^{\frac{1}{6}}_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3;
\]

\[
\left(x^{\frac{1}{6}} — 2\right)\left(x^{\frac{1}{6}} — 3\right) > 0;
\]

\[
x^{\frac{1}{6}} < 2, \quad x^{\frac{1}{6}} > 3;
\]

\[
x < 64, \quad x > 729;
\]

Ответ: \([0; 64) \cup (729; +\infty)\).

в)\( \frac{x^{\frac{2}{3}} — 2}{x^{\frac{2}{3}} + 2} — \frac{x^{\frac{1}{3}} — 1}{x^{\frac{1}{3}} — 1} < 3 \);

\[
\left(x^{\frac{2}{3}} — 2\right)\left(x^{\frac{2}{3}} + 2\right) — \left(x^{\frac{1}{3}} — 1\right)\left(x^{\frac{1}{3}} + 1\right) < 3;
\]

\[
x^{\frac{2}{3}} — 2 — x^{\frac{1}{3}} — 1 — 3 < 0;
\]

\[
x^{\frac{2}{3}} — x^{\frac{1}{3}} — 6 < 0;
\]

\[
D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25, \text{тогда:}
\]

\[
x^{\frac{1}{3}}_1 = \frac{1 — 5}{2} = -2 \quad \text{и} \quad x^{\frac{1}{3}}_2 = \frac{1 + 5}{2} = 3;
\]

\[
\left(x^{\frac{1}{3}} + 2\right)\left(x^{\frac{1}{3}} — 3\right) < 0;
\]

\[
x^{\frac{1}{3}} < 3, \quad x < 27;
\]

Область определения:
\[
x^{\frac{1}{3}} — 1 \neq 0, \quad x^{\frac{1}{3}} \neq 1, \quad x \neq 1;
\]

Ответ: \([0; 1) \cup (1; 27)\).

г)
\[
\frac{x^{\frac{6}{5}} — 9}{x^{\frac{3}{5}} — 3} — \frac{x^{\frac{4}{5}} — 4}{x^{\frac{2}{5}} + 2} > 5;
\]

\[
\frac{\left( x^{\frac{3}{5}} + 3 \right) \left( x^{\frac{3}{5}} — 3 \right)}{x^{\frac{3}{5}} — 3} — \frac{\left( x^{\frac{2}{5}} — 2 \right) \left( x^{\frac{2}{5}} + 2 \right)}{x^{\frac{2}{5}} + 2} > 5;
\]

\[
x^{\frac{3}{5}} + 3 — x^{\frac{2}{5}} + 2 — 5 > 0;
\]

\[
x^{\frac{3}{5}} — x^{\frac{2}{5}} > 0;
\]

\[
x^{\frac{2}{5}} \left( x^{\frac{1}{5}} — 1 \right) > 0;
\]

\[
x^{\frac{1}{5}} > 1, \quad x > 1;
\]

Область определения:
\[
x^{\frac{3}{5}} — 3 \neq 0; \quad x^{\frac{3}{5}} \neq 3, \quad x \neq 3\sqrt[3]{9};
\]

Ответ:
\[
(1; 3\sqrt[3]{9}) \cup (3\sqrt[3]{9}; +\infty).
\]

Решить неравенство:

а) \( x^{\frac{1}{2}} — 7x^{\frac{1}{4}} + 6 < 0 \);

Шаг 1: Начнем с неравенства:

\( x^{\frac{1}{2}} — 7x^{\frac{1}{4}} + 6 < 0 \);

Шаг 2: Рассчитаем дискриминант для квадратного уравнения:

\( D = 7^2 — 4 \cdot 6 = 49 — 24 = 25 \), тогда:

Шаг 3: Находим корни этого уравнения:

\( x^{\frac{1}{4}}_1 = \frac{7 — 5}{2} = 1 \quad \text{и} \quad x^{\frac{1}{4}}_2 = \frac{7 + 5}{2} = 6; \)

Шаг 4: Разбираем неравенство:

\( \left(x^{\frac{1}{4}} — 1\right)\left(x^{\frac{1}{4}} — 6\right) < 0; \)

Шаг 5: Решаем неравенство:

\( 1 < x^{\frac{1}{4}} < 6; \)

Шаг 6: Возводим в четвертую степень:

\( 1 < x < 1296; \)

Ответ: \( (1; 1296) \).

б) \( x^{\frac{1}{3}} — 5x^{\frac{1}{6}} + 6 > 0 \);

Шаг 1: Начнем с неравенства:

\( x^{\frac{1}{3}} — 5x^{\frac{1}{6}} + 6 > 0 \);

Шаг 2: Рассчитаем дискриминант для квадратного уравнения:

\( D = 5^2 — 4 \cdot 6 = 25 — 24 = 1 \), тогда:

Шаг 3: Находим корни этого уравнения:

\( x^{\frac{1}{6}}_1 = \frac{5 — 1}{2} = 2 \quad \text{и} \quad x^{\frac{1}{6}}_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3; \)

Шаг 4: Разбираем неравенство:

\( \left(x^{\frac{1}{6}} — 2\right)\left(x^{\frac{1}{6}} — 3\right) > 0; \)

Шаг 5: Решаем неравенство:

\( x^{\frac{1}{6}} < 2, \quad x^{\frac{1}{6}} > 3; \)

Шаг 6: Возводим в шестую степень:

\( x < 64, \quad x > 729; \)

Ответ: \( [0; 64) \cup (729; +\infty) \).

в) \( \frac{x^{\frac{2}{3}} — 2}{x^{\frac{2}{3}} + 2} — \frac{x^{\frac{1}{3}} — 1}{x^{\frac{1}{3}} — 1} < 3 \);

Шаг 1: Начнем с неравенства:

\( \frac{x^{\frac{2}{3}} — 2}{x^{\frac{2}{3}} + 2} — \frac{x^{\frac{1}{3}} — 1}{x^{\frac{1}{3}} — 1} < 3 \);

Шаг 2: Упростим выражение:

\( \left(x^{\frac{2}{3}} — 2\right)\left(x^{\frac{2}{3}} + 2\right) — \left(x^{\frac{1}{3}} — 1\right)\left(x^{\frac{1}{3}} + 1\right) < 3; \)

Шаг 3: Упростим дальше:

\( x^{\frac{2}{3}} — 2 — x^{\frac{1}{3}} — 1 — 3 < 0; \)

Шаг 4: Перепишем неравенство:

\( x^{\frac{2}{3}} — x^{\frac{1}{3}} — 6 < 0; \)

Шаг 5: Рассчитаем дискриминант для квадратного уравнения:

\( D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25 \), тогда:

Шаг 6: Находим корни этого уравнения:

\( x^{\frac{1}{3}}_1 = \frac{1 — 5}{2} = -2 \quad \text{и} \quad x^{\frac{1}{3}}_2 = \frac{1 + 5}{2} = 3; \)

Шаг 7: Разбираем неравенство:

\( \left(x^{\frac{1}{3}} + 2\right)\left(x^{\frac{1}{3}} — 3\right) < 0; \)

Шаг 8: Решаем неравенство:

\( x^{\frac{1}{3}} < 3, \quad x < 27; \)

Шаг 9: Область определения:

\( x^{\frac{1}{3}} — 1 \neq 0, \quad x^{\frac{1}{3}} \neq 1, \quad x \neq 1; \)

Ответ: \( [0; 1) \cup (1; 27) \).

г) \( \frac{x^{\frac{6}{5}} — 9}{x^{\frac{3}{5}} — 3} — \frac{x^{\frac{4}{5}} — 4}{x^{\frac{2}{5}} + 2} > 5; \)

Шаг 1: Начнем с неравенства:

\( \frac{x^{\frac{6}{5}} — 9}{x^{\frac{3}{5}} — 3} — \frac{x^{\frac{4}{5}} — 4}{x^{\frac{2}{5}} + 2} > 5; \)

Шаг 2: Упростим выражение:

\( \frac{\left( x^{\frac{3}{5}} + 3 \right) \left( x^{\frac{3}{5}} — 3 \right)}{x^{\frac{3}{5}} — 3} — \frac{\left( x^{\frac{2}{5}} — 2 \right) \left( x^{\frac{2}{5}} + 2 \right)}{x^{\frac{2}{5}} + 2} > 5; \)

Шаг 3: Упростим дальше:

\( x^{\frac{3}{5}} + 3 — x^{\frac{2}{5}} + 2 — 5 > 0; \)

Шаг 4: Упрощаем:

\( x^{\frac{3}{5}} — x^{\frac{2}{5}} > 0; \)

Шаг 5: Перепишем неравенство:

\( x^{\frac{2}{5}} \left( x^{\frac{1}{5}} — 1 \right) > 0; \)

Шаг 6: Разбираем неравенство:

\( x^{\frac{1}{5}} > 1, \quad x > 1; \)

Шаг 7: Область определения:

\( x^{\frac{3}{5}} — 3 \neq 0; \quad x^{\frac{3}{5}} \neq 3, \quad x \neq 3\sqrt[3]{9}; \)

Ответ: \( (1; 3\sqrt[3]{9}) \cup (3\sqrt[3]{9}; +\infty) \).