ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 981 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите неравенство:

а) \(\sqrt[3]{2x — 5} < \sqrt[4]{x + 7}\);

б) \(\sqrt[3]{x^2 — 1} > \sqrt[3]{x + 3}\);

в) \(\sqrt[6]{x — 5} < \sqrt[3]{x + 1}\);

г) \(\sqrt{x — 2} < \sqrt[4]{x + 5}\).

Решить неравенство:

а) \(\sqrt[4]{2x — 5} < \sqrt[4]{x + 7}\);

\[
2x — 5 < x + 7, \quad x < 12; \]

Область определения:

\[ 2x — 5 \geq 0, \quad x \geq 2.5; \]

Ответ: \([2.5; 12)\).

б) \(\sqrt[3]{x^2 — 1} > \sqrt[3]{x + 3}\);

\[
x^2 — 1 > x + 3;
\]

\[
x^2 — x — 4 > 0;
\]

\[
D = 1^2 + 4 \cdot 4 = 1 + 16 = 17, \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{1 — \sqrt{17}}{2} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{1 + \sqrt{17}}{2};
\]

\[
x < \frac{1 — \sqrt{17}}{2}, \quad x > \frac{1 + \sqrt{17}}{2};
\]

Ответ: \(\left(-\infty; \frac{1 — \sqrt{17}}{2}\right) \cup \left(\frac{1 + \sqrt{17}}{2}; +\infty\right)\).

в) \(\sqrt{x — 5} < \sqrt[3]{x + 1}\);

\[
x — 5 < x^2 + 2x + 1; \] \[ x^2 + x + 6 > 0;
\]

\[
D = 1^2 — 4 \cdot 6 = -23 < 0, \quad a > 0, \text{значит } x \in \mathbb{R};
\]

Область определения:
\[
x — 5 \geq 0, \quad x \geq 5;
\]

Ответ: \([5; +\infty)\).

г) \(\sqrt{x — 2} < \sqrt[4]{x + 5}\);

\[
x — 2 < x + 5;
\]

\[
x^2 — 5x — 1 < 0;
\]

\[
D = 5^2 + 4 \cdot 1 = 25 + 4 = 29, \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{5 — \sqrt{29}}{2} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{5 + \sqrt{29}}{2};
\]

\[
\frac{5 — \sqrt{29}}{2} < x < \frac{5 + \sqrt{29}}{2};
\]

Область определения:
\[
x — 2 \geq 0, \quad x \geq 2;
\]

Ответ: \(\left[2; \frac{5 + \sqrt{29}}{2}\right)\).

Решить неравенство:

а) \( \sqrt[4]{2x — 5} < \sqrt[4]{x + 7} \);

Шаг 1: Начнем с неравенства:

\( \sqrt[4]{2x — 5} < \sqrt[4]{x + 7} \);

Шаг 2: Возводим обе части в четвертую степень:

\( 2x — 5 < x + 7 \);

Шаг 3: Переносим все члены на одну сторону:

\( 2x — x < 7 + 5 \);

Шаг 4: Упрощаем выражение:

\( x < 12 \);

Шаг 5: Область определения функции \( \sqrt[4]{2x — 5} \) требует, чтобы \( 2x — 5 \geq 0 \), то есть \( x \geq 2.5 \).

Шаг 6: С учетом области определения, окончательное решение:

Ответ: \( [2.5; 12) \).

б) \( \sqrt[3]{x^2 — 1} > \sqrt[3]{x + 3} \);

Шаг 1: Начнем с неравенства:

\( \sqrt[3]{x^2 — 1} > \sqrt[3]{x + 3} \);

Шаг 2: Возводим обе части в третью степень:

\( x^2 — 1 > x + 3 \);

Шаг 3: Переносим все члены на одну сторону:

\( x^2 — x — 4 > 0 \);

Шаг 4: Рассчитываем дискриминант для квадратного уравнения:

\( D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 1 + 16 = 17 \), тогда:

Шаг 5: Находим корни этого уравнения:

\( x_1 = \frac{1 — \sqrt{17}}{2} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{1 + \sqrt{17}}{2} \);

Шаг 6: Разбираем неравенство: \( x < \frac{1 — \sqrt{17}}{2}, \quad x > \frac{1 + \sqrt{17}}{2} \);

Ответ: \( \left(-\infty; \frac{1 — \sqrt{17}}{2}\right) \cup \left(\frac{1 + \sqrt{17}}{2}; +\infty\right) \).

в) \( \sqrt{x — 5} < \sqrt[3]{x + 1} \);

Шаг 1: Начнем с неравенства:

\( \sqrt{x — 5} < \sqrt[3]{x + 1} \);

Шаг 2: Возводим обе части в квадрат и куб, соответственно:

\( x — 5 < x^2 + 2x + 1 \);

Шаг 3: Переносим все члены на одну сторону:

\( x^2 + x + 6 > 0 \);

Шаг 4: Рассчитываем дискриминант для квадратного уравнения:

\( D = 1^2 — 4 \cdot 6 = -23 < 0 \), значит, уравнение всегда положительно, и решение этого неравенства верно для всех \( x \in \mathbb{R} \).

Шаг 5: Область определения функции \( \sqrt{x — 5} \) требует, чтобы \( x — 5 \geq 0 \), то есть \( x \geq 5 \).

Ответ: \( [5; +\infty) \).

г) \( \sqrt{x — 2} < \sqrt[4]{x + 5} \);

Шаг 1: Начнем с неравенства:

\( \sqrt{x — 2} < \sqrt[4]{x + 5} \);

Шаг 2: Возводим обе части в квадрат и четвертую степень:

\( x — 2 < x + 5 \);

Шаг 3: Переносим все члены на одну сторону:

\( x^2 — 5x — 1 < 0 \);

Шаг 4: Рассчитываем дискриминант для квадратного уравнения:

\( D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 25 + 4 = 29 \), тогда:

Шаг 5: Находим корни этого уравнения:

\( x_1 = \frac{5 — \sqrt{29}}{2} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{5 + \sqrt{29}}{2} \);

Шаг 6: Разбираем неравенство: \( \frac{5 — \sqrt{29}}{2} < x < \frac{5 + \sqrt{29}}{2} \);

Шаг 7: Область определения функции \( \sqrt{x — 2} \) требует, чтобы \( x — 2 \geq 0 \), то есть \( x \geq 2 \).

Ответ: \( \left[2; \frac{5 + \sqrt{29}}{2}\right) \).