ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 980 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите промежутки, на которых функция \( y = \sqrt{4x + 1} — x + 1 \) принимает:

а) отрицательные значения;

б) положительные значения.

Дана функция:
\[
y = \sqrt{4x + 1} — x + 1;
\]

а) \( y < 0 \);

\[
\sqrt{4x + 1} — x + 1 < 0;
\]

\[
\sqrt{4x + 1} < x — 1;
\]

\[
4x + 1 < x^2 — 2x + 1;
\]

\[
x^2 — 6x > 0;
\]

\[
x(x — 6) > 0;
\]

\[
x < 0, \quad x > 6;
\]

Область определения:
\[
4x + 1 \geq 0, \quad x \geq -\frac{1}{4};
\]

\[
x — 1 > 0, \quad x > 1;
\]

Ответ: \((6; +\infty)\).

б) \( y > 0 \);

\[
\sqrt{4x + 1} — x + 1 > 0;
\]

\[
\sqrt{4x + 1} > x — 1;
\]

\[
4x + 1 > x^2 — 2x + 1;
\]

\[
x^2 — 6x < 0;
\]

\[
x(x — 6) < 0;
\]

\[
x — 1 < 0, \quad x < 1;
\]

\[
0 < x < 6;
\]

Область определения:

\[
4x + 1 \geq 0, \quad x \geq -\frac{1}{4};
\]

Ответ: \(\left[-\frac{1}{4}; 6\right)\).

Дана функция:

\( y = \sqrt{4x + 1} — x + 1; \)

а) \( y < 0 \);

Шаг 1: Начнем с неравенства:

\( \sqrt{4x + 1} — x + 1 < 0; \)

Шаг 2: Переносим все элементы в одну сторону:

\( \sqrt{4x + 1} < x — 1; \)

Шаг 3: Возводим обе стороны неравенства в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня:

\( 4x + 1 < x^2 — 2x + 1; \)

Шаг 4: Переносим все члены на одну сторону:

\( x^2 — 6x > 0; \)

Шаг 5: Разлагаем это выражение на множители:

\( x(x — 6) > 0; \)

Шаг 6: Из решения неравенства получаем два интервала:

\( x < 0, \quad x > 6; \)

Шаг 7: Область определения функции \( \sqrt{4x + 1} \) требует, чтобы \( 4x + 1 \geq 0 \), то есть \( x \geq -\frac{1}{4} \). Также для \( x — 1 > 0 \), нужно, чтобы \( x > 1 \).

Шаг 8: С учетом области определения, окончательное решение:

Ответ: \( (6; +\infty) \).

б) \( y > 0 \);

Шаг 1: Начнем с неравенства:

\( \sqrt{4x + 1} — x + 1 > 0; \)

Шаг 2: Переносим все элементы в одну сторону:

\( \sqrt{4x + 1} > x — 1; \)

Шаг 3: Возводим обе стороны в квадрат:

\( 4x + 1 > x^2 — 2x + 1; \)

Шаг 4: Переносим все члены на одну сторону:

\( x^2 — 6x < 0; \)

Шаг 5: Разлагаем это выражение на множители:

\( x(x — 6) < 0; \)

Шаг 6: Из решения неравенства получаем интервал:

\( 0 < x < 6; \)

Шаг 7: Область определения функции \( \sqrt{4x + 1} \) требует, чтобы \( 4x + 1 \geq 0 \), то есть \( x \geq -\frac{1}{4} \).

Шаг 8: С учетом области определения, окончательное решение:

Ответ: \( \left[-\frac{1}{4}; 6\right) \).