ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 979 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите неравенство:

а) \(\sqrt{x — 4} > 1 — x\);

б) \(\sqrt{x — 5} < 3 — x\);

в) \(\sqrt{x^2 — 7x + 12} < x — 3\);

г) \(\sqrt{x^3 — 6x — 16} > x — 5\).

Решить неравенство:

а) \(\sqrt{x — 4} > 1 — x\);

\[
x — 4 > 1 — 2x + x^2, \quad 1 — x < 0;
\]

\[
x^2 — 3x + 5 < 0, \quad x > 1;
\]

\[
D = 3^2 — 4 \cdot 5 = 9 — 20 = -11;
\]

\(D < 0\) и \(a > 0\), значит \);

Область определения:
\[
x — 4 \geq 0, \quad x \geq 4;
\]

Ответ: \([4; +\infty)\).

б) \(\sqrt{x — 5} < 3 — x\);

Область определения:
\[
x — 5 \geq 0, \quad x \geq 5;
\]

\[
3 — x > 0, \quad x < 3;
\]

Ответ: решений нет.

в) \(\sqrt{x^2 — 7x + 12} < x — 3\);

\[
x^2 — 7x + 12 < x^2 — 6x + 9;
\]

\[
-x < -3, \quad x > 3;
\]

Область определения:

\[
x^2 — 7x + 12 \geq 0, \quad x — 3 > 0;
\]

\[
D = 7^2 — 4 \cdot 12 = 49 — 48 = 1, \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{7 — 1}{2} = 3 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{7 + 1}{2} = 4;
\]

\[
(x — 3)(x — 4) \geq 0, \quad x > 3;
\]

\[
x \leq 3, \quad x \geq 4;
\]

Ответ: \([4; +\infty)\).

г) \(\sqrt{x^3 — 6x — 16} > x — 5\);

\[
x^2 — 6x — 16 > x^2 — 10x + 25;
\]

\[
4x > 41, \quad x — 5 < 0;
\]

\[
x > 10\frac{1}{4}, \quad x < 5;
\]

Область определения:
\[
x^2 — 6x — 16 \geq 0;
\]

\[
D = 6^2 + 4 \cdot 16 = 36 + 64 = 100, \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{6 — 10}{2} = -2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{6 + 10}{2} = 8;
\]

\[
(x \neq 2)(x — 8) \geq 0;
\]

\[
x \leq -2, \quad x \geq 8;
\]

Ответ: \((-\infty; -2] \cup \left(10\frac{1}{4}; +\infty\right)\).

Решить неравенство:

а) \( \sqrt{x — 4} > 1 — x \);

Шаг 1: Избавимся от квадратного корня, возведя обе части неравенства в квадрат:

\( (\sqrt{x — 4})^2 > (1 — x)^2 \), что дает:

\( x — 4 > 1 — 2x + x^2 \).

Шаг 2: Переносим все члены на одну сторону:

\( x — 4 — 1 + 2x — x^2 > 0 \), что преобразуется в:

\( -x^2 + 3x — 5 > 0 \).

Шаг 3: Умножаем на -1, при этом неравенство меняет знак:

\( x^2 — 3x + 5 < 0 \).

Шаг 4: Рассчитываем дискриминант этого квадратного неравенства:

\( D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 5 = 9 — 20 = -11 \).

Шаг 5: Поскольку \( D < 0 \), у квадратного неравенства нет действительных корней, следовательно, решение отсутствует.

Шаг 6: Область определения для \( \sqrt{x — 4} \) должна быть: \( x — 4 \geq 0 \), то есть \( x \geq 4 \).

Ответ: \( [4; +\infty) \).

б) \( \sqrt{x — 5} < 3 — x \);

Шаг 1: Определим область определения для этого неравенства: для \( \sqrt{x — 5} \) должно быть \( x — 5 \geq 0 \), то есть \( x \geq 5 \).

Шаг 2: Для второй части неравенства \( 3 — x > 0 \), то есть \( x < 3 \).

Шаг 3: Из условия \( x \geq 5 \) и \( x < 3 \) невозможно найти совместных значений, следовательно, решений не существует.

Ответ: решений нет.

в) \( \sqrt{x^2 — 7x + 12} < x — 3 \);

Шаг 1: Избавляемся от квадратного корня, возводя обе части неравенства в квадрат:

\( (\sqrt{x^2 — 7x + 12})^2 < (x — 3)^2 \), что дает:

\( x^2 — 7x + 12 < x^2 — 6x + 9 \).

Шаг 2: Переносим все члены на одну сторону:

\( x^2 — 7x + 12 — x^2 + 6x — 9 < 0 \), что упрощается до:

\( -x + 3 < 0 \), или \( x > 3 \).

Шаг 3: Рассмотрим область определения: для \( \sqrt{x^2 — 7x + 12} \) должно быть \( x^2 — 7x + 12 \geq 0 \), что эквивалентно решению неравенства:

\( x^2 — 7x + 12 \geq 0 \).

Шаг 4: Рассчитываем дискриминант для квадратного уравнения \( x^2 — 7x + 12 \):

\( D = (-7)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 — 48 = 1 \), тогда:

\( x_1 = \frac{7 — 1}{2} = 3 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{7 + 1}{2} = 4; \)

Шаг 5: Условие \( (x — 3)(x — 4) \geq 0 \) решается следующим образом: \( x \leq 3 \) или \( x \geq 4 \).

Шаг 6: С учетом того, что \( x > 3 \), решение: \( x \geq 4 \).

Ответ: \( [4; +\infty) \).

г) \( \sqrt{x^3 — 6x — 16} > x — 5 \);

Шаг 1: Избавляемся от квадратного корня, возводя обе части неравенства в квадрат:

\( (\sqrt{x^3 — 6x — 16})^2 > (x — 5)^2 \), что дает:

\( x^3 — 6x — 16 > x^2 — 10x + 25 \).

Шаг 2: Переносим все члены на одну сторону:

\( x^3 — 6x — 16 — x^2 + 10x — 25 > 0 \), что упрощается до:

\( x^3 — x^2 + 4x — 41 > 0 \).

Шаг 3: Упростим это выражение, решая неравенство по его корням. Также необходимо учесть, что область определения для \( \sqrt{x^3 — 6x — 16} \) требует, чтобы выражение под квадратным корнем было неотрицательным:

\( x^3 — 6x — 16 \geq 0 \).

Шаг 4: Рассчитываем дискриминант для этого кубического уравнения. Мы получаем, что оно имеет корни \( x_1 = -2 \) и \( x_2 = 8 \).

Шаг 5: Следовательно, решением неравенства является \( x \leq -2 \) или \( x \geq 8 \), а также \( x > 10\frac{1}{4} \) и \( x < 5 \), что даёт окончательное решение:

Ответ: \( (-\infty; -2] \cup \left(10\frac{1}{4}; +\infty\right) \).