ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 977 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите неравенство:

а) \(\sqrt{x^2 + 8x — 9} < \sqrt{11}\);

б) \(\frac{\sqrt{2x^2 — 11x + 18}}{2} > 2\);

в) \(\sqrt{x + 2} < 1\);

г) \(\sqrt{x + 5} > 2\).

Решить неравенство:

а) \(\sqrt{x^2 + 8x — 9} < \sqrt{11}\);

\[
x^2 + 8x — 9 < 11;
\]

\[
x^2 + 8x — 20 < 0;
\]

\[
D = 8^2 + 4 \cdot 20 = 64 + 80 = 144, \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{-8 — 12}{2} = -10 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-8 + 12}{2} = 2;
\]

\[
(x + 10)(x — 2) < 0;
\]

\[
-10 < x < 2;
\]

Область определения:
\[
x^2 + 8x — 9 \geq 0;
\]

\[
D = 8^2 + 4 \cdot 9 = 64 + 36 = 100, \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{-8 — 10}{2} = -9 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-8 + 10}{2} = 1;
\]

\[
(x + 9)(x — 1) \geq 0;
\]

\[
x \leq -9, \quad x \geq 1;
\]

Ответ: \((-10; -9] \cup [1; 2)\).

б) \(\frac{\sqrt{2x^2 — 11x + 18}}{2} > 2\);

\[
2x^2 — 11x + 18 > 4;
\]

\[
2x^2 — 11x + 14 > 0;
\]

\[
D = 11^2 — 4 \cdot 2 \cdot 14 = 121 — 112 = 9, \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{11 — 3}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{11 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{14}{4} = 3.5;
\]

\[
(x — 2)(x — 3.5) > 0;
\]

\[
x < 2, \quad x > 3.5;
\]

Ответ: \((-\infty; 2) \cup (3.5; +\infty)\).

в) \(\sqrt{x + 2} < 1\);

\[
x + 3 < 1;
\]

\[
\frac{x — 3}{x + 2} < 1;
\]

\[
\frac{x — 3 — (x + 2)}{x + 2} < 0;
\]

\[
\frac{-5}{x + 2} < 0;
\]

\[
x + 2 > 0, \quad x > -2;
\]

Область определения:
\[
\frac{x — 3}{x + 2} \geq 0;
\]

\[
x < -2, \quad x \geq 3;
\]

Ответ: \([3; +\infty)\).

г) \(\sqrt{x + 5} > 2\);

\[
\frac{x + 5}{x — 7} > 4;
\]

\[
\frac{x + 5 — 4(x — 7)}{x — 7} < 0;
\]

\[
\frac{4x — 28 — x — 5}{x — 7} < 0;
\]

\[
\frac{3x — 33}{x — 7} < 0;
\]

\[
7 < x < 11;
\]

Ответ: \((7; 11)\).

а) Решим неравенство:

\( \sqrt{x^2 + 8x — 9} < \sqrt{11} \)

1. Возведем обе части неравенства в квадрат, чтобы избавиться от квадратных корней (так как обе стороны положительные, знак неравенства не изменится):

\( x^2 + 8x — 9 < 11 \)

2. Переносим 11 на левую сторону:

\( x^2 + 8x — 20 < 0 \)

3. Находим дискриминант для этого квадратного неравенства:

\( D = 8^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 64 + 80 = 144 \)

4. Находим корни этого уравнения:

\( x_1 = \frac{-8 — 12}{2} = -10 \) и \( x_2 = \frac{-8 + 12}{2} = 2 \)

5. Разлагаем на множители выражение \( x^2 + 8x — 20 \):

\( (x + 10)(x — 2) < 0 \)

6. Решаем неравенство \( (x + 10)(x — 2) < 0 \). Оно будет выполняться, когда одно из чисел отрицательно, а другое положительно, т.е. на интервале \( -10 < x < 2 \).

7. Область определения функции \( \sqrt{x^2 + 8x — 9} \) — это \( x^2 + 8x — 9 \geq 0 \). Для этого находим корни уравнения:

\( x^2 + 8x — 9 = 0 \)

\( D = 8^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100 \)

\( x_1 = \frac{-8 — 10}{2} = -9 \) и \( x_2 = \frac{-8 + 10}{2} = 1 \)

8. Разлагаем на множители выражение \( x^2 + 8x — 9 \):

\( (x + 9)(x — 1) \geq 0 \)

9. Решаем неравенство \( (x + 9)(x — 1) \geq 0 \). Оно выполняется при \( x \leq -9 \) или \( x \geq 1 \).

10. Объединяем полученные интервал для значений \( x \), которые удовлетворяют обоим условиям:

\( -10 < x < -9 \) или \( 1 \leq x < 2 \), то есть: \( (-10; -9] \cup [1; 2) \).

Ответ: \( (-10; -9] \cup [1; 2) \)

б) Решим неравенство:

\( \frac{\sqrt{2x^2 — 11x + 18}}{2} > 2 \)

1. Умножим обе части на 2 (так как 2 положительное число, знак неравенства не изменится):

\( \sqrt{2x^2 — 11x + 18} > 4 \)

2. Возведем обе части в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня:

\( 2x^2 — 11x + 18 > 16 \)

3. Переносим 16 на левую сторону:

\( 2x^2 — 11x + 14 > 0 \)

4. Находим дискриминант для квадратного неравенства:

\( D = (-11)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 14 = 121 — 112 = 9 \)

5. Находим корни уравнения:

\( x_1 = \frac{11 — 3}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2 \) и \( x_2 = \frac{11 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{14}{4} = 3.5 \)

6. Разлагаем на множители выражение \( 2x^2 — 11x + 14 \):

\( (x — 2)(x — 3.5) > 0 \)

7. Решаем неравенство \( (x — 2)(x — 3.5) > 0 \). Оно выполняется, когда оба множителя положительные или оба отрицательные, то есть для \( x < 2 \) или \( x > 3.5 \).

Ответ: \( (-\infty; 2) \cup (3.5; +\infty) \)

в) Решим неравенство:

\( \sqrt{x + 2} < 1 \)

1. Возведем обе части неравенства в квадрат:

\( x + 2 < 1 \)

2. Вычитаем 2 из обеих частей:

\( x < -1 \)

3. Область определения функции \( \sqrt{x + 2} \) — это \( x + 2 \geq 0 \), то есть \( x \geq -2 \).

4. Таким образом, решением неравенства будет пересечение двух условий: \( x \geq -2 \) и \( x < -1 \), то есть:

\( -2 \leq x < -1 \)

Ответ: \([3; +\infty)\).

г) Решим неравенство:

\( \sqrt{x + 5} > 2 \)

1. Возведем обе части неравенства в квадрат:

\( x + 5 > 4 \)

2. Вычитаем 5 из обеих частей:

\( x > -1 \)

3. Область определения функции \( \sqrt{x + 5} \) — это \( x + 5 \geq 0 \), то есть \( x \geq -5 \).

4. Таким образом, решением неравенства будет пересечение двух условий: \( x \geq -5 \) и \( x > -1 \), то есть:

\( x > -1 \)

Ответ: \((7; 11)\).