ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 976 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите неравенство:

а) \(\sqrt{x} \geq 5\);

б) \(\sqrt[4]{x} \geq 2\);

в) \(\sqrt{x — 5} < 2\);

г) \(\sqrt[3]{x — 8} > 3\).

Решить неравенство:

а) \(\sqrt{x} < 5\);

\[
0 \leq x < 25;
\]

Ответ: \([0; 25)\).

б) \(\sqrt[4]{x} \geq 2\);

\[
x \geq 16;
\]

Ответ: \([16; +\infty)\).

в) \(\sqrt{x — 5} < 2\);

\[
0 \leq x — 5 < 4;
\]

\[
5 \leq x < 9;
\]

Ответ: \([5; 9)\).

г) \(\sqrt[3]{x — 8} > 3\);

\[
x — 8 > 27;
\]

\[
x > 35;
\]

Ответ: \((35; +\infty)\).

а) Решим неравенство:

\( \sqrt{x} < 5 \)

1. Данное неравенство определено только для значений \( x \geq 0 \), так как подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

Следовательно, область определения функции \( \sqrt{x} \) — это \( x \geq 0 \).

2. Чтобы избавиться от квадратного корня, возведем обе части неравенства в квадрат (так как при возведении в квадрат неравенство не изменяет знак, так как обе части положительные):

\( (\sqrt{x})^2 < 5^2 \)

\( x < 25 \)

3. Теперь учитываем область определения \( x \geq 0 \) и объединяем с полученным результатом:

\( 0 \leq x < 25 \)

Ответ: \( [0; 25) \)

б) Решим неравенство:

\( \sqrt[4]{x} \geq 2 \)

1. Данное неравенство определено для \( x \geq 0 \), так как четвертый корень из отрицательных чисел в действительных числах не существует.

2. Чтобы избавиться от четвертого корня, возведем обе части неравенства в четвертую степень. При этом знак неравенства не изменится, так как обе части положительные:

\( (\sqrt[4]{x})^4 \geq 2^4 \)

\( x \geq 16 \)

Ответ: \( [16; +\infty) \)

в) Решим неравенство:

\( \sqrt{x — 5} < 2 \)

1. Данное неравенство определено только для значений \( x \geq 5 \), так как подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть \( x — 5 \geq 0 \), отсюда \( x \geq 5 \).

2. Чтобы избавиться от квадратного корня, возведем обе части неравенства в квадрат. При этом знак неравенства не изменится, так как обе части положительные:

\( (\sqrt{x — 5})^2 < 2^2 \)

\( x — 5 < 4 \)

3. Теперь добавим 5 ко всем частям неравенства, чтобы изолировать \( x \):

\( 5 \leq x < 9 \)

Ответ: \( [5; 9) \)

г) Решим неравенство:

\( \sqrt[3]{x — 8} > 3 \)

1. Данное неравенство определено для всех \( x \), так как кубический корень существует для всех действительных чисел.

2. Чтобы избавиться от кубического корня, возведем обе части неравенства в третью степень. При этом знак неравенства не изменится, так как кубический корень является монотонной функцией (возрастает), и знак остается прежним:

\( (\sqrt[3]{x — 8})^3 > 3^3 \)

\( x — 8 > 27 \)

3. Теперь добавим 8 ко всем частям неравенства, чтобы изолировать \( x \):

\( x > 35 \)

Ответ: \( (35; +\infty) \)