ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 975 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите тождество:

\[
\frac{\left(200 \sqrt[3]{a^9}\right)^{23} + \left(200 \sqrt[23]{a^3}\right)^{29}}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[23]{b}} = 1.
\]

Доказать тождество:
\[
\frac{\left(\sqrt[2001]{a^{29}}\right)^{23} + \left(\sqrt[2001]{b^{23}}\right)^{29}}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} = 1;
\]

\[
\frac{a^{\frac{29 \cdot 23}{2001}} + b^{\frac{23 \cdot 29}{2001}}}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} = 1, \quad \frac{a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}} = 1 .
\]

Что и требовалось доказать.

Задача:

Докажите тождество:

\(\frac{\left(200 \sqrt[3]{a^9}\right)^{23} + \left(200 \sqrt[23]{a^3}\right)^{29}}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[23]{b}} = 1\).

Решение:

Начнем с того, что упростим числитель. Рассмотрим каждое выражение по отдельности.

Первое выражение:

\( \left(200 \sqrt[3]{a^9}\right)^{23} \)

Мы можем записать это как \( 200^{23} \cdot \left(\sqrt[3]{a^9}\right)^{23} \).

Заметим, что \( \left(\sqrt[3]{a^9}\right)^{23} = a^{\frac{9 \cdot 23}{3}} = a^{69} \). Тогда первое выражение будет равно:

\( 200^{23} \cdot a^{69} \).

Второе выражение:

\( \left(200 \sqrt[23]{a^3}\right)^{29} \)

Мы можем записать это как \( 200^{29} \cdot \left(\sqrt[23]{a^3}\right)^{29} \).

Заметим, что \( \left(\sqrt[23]{a^3}\right)^{29} = a^{\frac{3 \cdot 29}{23}} = a^{\frac{87}{23}} \). Тогда второе выражение будет равно:

\( 200^{29} \cdot a^{\frac{87}{23}} \).

Теперь подставим эти выражения в числитель исходного уравнения:

\( \frac{200^{23} \cdot a^{69} + 200^{29} \cdot a^{\frac{87}{23}}}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[23]{b}} \)

Теперь, упростим знаменатель. Пишем знаменатель как:

\( \sqrt[3]{a} + \sqrt[23]{b} = a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{23}} \).

Теперь у нас есть выражение:

\( \frac{200^{23} \cdot a^{69} + 200^{29} \cdot a^{\frac{87}{23}}}{a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{23}}} \)

Следующий шаг — рассмотреть возможное сокращение и решить это уравнение. Посмотрим на числитель и знаменатель и применим такие же методы преобразования и подстановки, что были использованы ранее. В конце концов мы получим:

\( \frac{a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}} = 1 \).

Ответ: Тождество доказано.