ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 974 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

При каких значениях параметра \( a \) уравнение \( a^2x + ax — 12 = 0 \) имеет положительный корень?

Корни положительны:
\[
a^2x^2 + ax — 12 = 0;
\]

\[
D = a^2 + 4a^2 \cdot 12 = a^2 + 48a^2 = 49a^2, \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{-a — 7a}{2a^2} = \frac{-8a}{2a^2} = \frac{-4}{a} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-a + 7a}{2a^2} = \frac{6a}{2a^2} = \frac{3}{a};
\]

\[
\frac{4}{a} > 0, \quad a < 0 \quad \text{и} \quad \frac{3}{a} > 0, \quad a > 0;
\]

Ответ: \(\frac{-4}{a} \text{ при } a < 0 \quad \text{и} \quad \frac{3}{a} \text{ при } a > 0\).

Задача:

При каких значениях параметра \( a \) уравнение \( a^2x + ax — 12 = 0 \) имеет положительный корень?

Для начала, решим уравнение относительно \( x \):

\( a^2x + ax — 12 = 0 \)

1. Перепишем уравнение в стандартной форме:

\( a^2x^2 + ax — 12 = 0 \)

2. Применим формулу для нахождения корней квадратного уравнения. Корни уравнения \( Ax^2 + Bx + C = 0 \) находятся по формуле:

\( x = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A} \), где \( D \) — дискриминант, а \( A \), \( B \), и \( C \) — коэффициенты уравнения.

Для нашего уравнения \( a^2x^2 + ax — 12 = 0 \) имеем:

\( A = a^2, \quad B = a, \quad C = -12 \)

3. Найдем дискриминант \( D \):

\( D = B^2 — 4AC = a^2 — 4a^2(-12) = a^2 + 48a^2 = 49a^2 \)

4. Теперь находим корни уравнения с использованием формулы для корней квадратного уравнения:

\( x_1 = \frac{-a — \sqrt{49a^2}}{2a^2} = \frac{-a — 7a}{2a^2} = \frac{-8a}{2a^2} = \frac{-4}{a} \)

\( x_2 = \frac{-a + \sqrt{49a^2}}{2a^2} = \frac{-a + 7a}{2a^2} = \frac{6a}{2a^2} = \frac{3}{a} \)

5. Для того чтобы корни были положительными, необходимо, чтобы \( x_1 > 0 \) или \( x_2 > 0 \). Рассмотрим оба случая:

Для \( x_1 = \frac{-4}{a} > 0 \):

Необходимо, чтобы \( a < 0 \), так как при \( a < 0 \), \( \frac{-4}{a} \) будет положительным.

Для \( x_2 = \frac{3}{a} > 0 \):

Необходимо, чтобы \( a > 0 \), так как при \( a > 0 \), \( \frac{3}{a} \) будет положительным.

Ответ:

Корни положительны при \( \frac{-4}{a} \text{ для } a < 0 \) и \( \frac{3}{a} \text{ для } a > 0 \).