ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 972 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Построить график функции:

\[
f(x) =
\begin{cases}
-2x — 7, & \text{если } x < -2; \\
-x^2 + 1, & \text{если } -2 \leq x \leq 2; \\
2x — 7, & \text{если } x > 2.
\end{cases}
\]

График данной функции:

Свойства функции:

\( f(x) = 0 \) при \( x_1 = -3.5 \), \( x_2 = -1 \), \( x_3 = 1 \), \( x_4 = 3.5 \);
\( f(x) < 0 \) при \( x \in (-3.5; -1) \cup (1; 3.5) \);
\( f(x) > 0 \) при \( x \in (-\infty; -3.5) \cup (-1; 1) \cup (3.5; +\infty) \);
Функция возрастает при \( x \in [-2; 0] \cup [2; +\infty) \);
Функция убывает при \( x \in (-\infty; -2] \cup [0; 2] \).

а) Решим уравнение:

\( f(x) = \begin{cases} -2x — 7, & \text{если } x < -2 \\ -x^2 + 1, & \text{если } -2 \leq x \leq 2 \\ 2x — 7, & \text{если } x > 2 \end{cases} \)

Нули функции:

1. Для первого случая \( x < -2 \):

Функция: \( f(x) = -2x — 7 \)

Решаем уравнение \( -2x — 7 = 0 \):

\( x = -\frac{7}{2} = -3.5 \)

2. Для второго случая \( -2 \leq x \leq 2 \):

Функция: \( f(x) = -x^2 + 1 \)

Решаем уравнение \( -x^2 + 1 = 0 \):

\( x^2 = 1 \), тогда \( x = \pm 1 \)

3. Для третьего случая \( x > 2 \):

Функция: \( f(x) = 2x — 7 \)

Решаем уравнение \( 2x — 7 = 0 \):

\( x = \frac{7}{2} = 3.5 \)

Область определения и знаки функции:

1. Для \( x < -2 \):

\( f(x) = -2x — 7 \) — линейная функция с отрицательным коэффициентом. Проверяем знак:

\( f(-3) = -2(-3) — 7 = 6 — 7 = -1 \), значит, \( f(x) > 0 \) при \( x \in (-\infty, -3.5) \) и \( f(x) < 0 \) при \( x \in (-3.5, -2) \).

2. Для \( -2 \leq x \leq 2 \):

\( f(x) = -x^2 + 1 \) — парабола, открывающаяся вниз. Проверим знаки функции на разных интервалах:

— При \( x \in (-1, 1) \), функция положительна, а при \( x \in (-2, -1) \) и \( x \in (1, 2) \) функция отрицательна.

3. Для \( x > 2 \):

\( f(x) = 2x — 7 \) — линейная функция с положительным коэффициентом. Проверим знак:

\( f(3) = 2(3) — 7 = 6 — 7 = -1 \), значит, \( f(x) > 0 \) при \( x \in (3.5, +\infty) \) и \( f(x) < 0 \) при \( x \in (2, 3.5) \).

Монотонность функции:

1. Для \( x < -2 \):

Функция \( f(x) = -2x — 7 \) убывает, так как коэффициент при \( x \) отрицателен. Таким образом, функция убывает на интервале \( (-\infty, -2] \).

2. Для \( -2 \leq x \leq 2 \):

Функция \( f(x) = -x^2 + 1 \) — парабола, которая убывает на интервале \( (-2, 0] \) и возрастает на интервале \( [0, 2] \).

3. Для \( x > 2 \):

Функция \( f(x) = 2x — 7 \) возрастает, так как коэффициент при \( x \) положительный. Таким образом, функция возрастает на интервале \( [2, +\infty) \).

Ответ: \( f(x) = 0 \) при \( x = -3.5, x = -1, x = 1, x = 3.5 \); \( f(x) < 0 \) при \( x \in (-3.5; -1) \cup (1; 3.5) \); \( f(x) > 0 \) при \( x \in (-\infty; -3.5) \cup (-1; 1) \cup (3.5; +\infty) \); функция возрастает на \( x \in [-2; 0] \cup [2; +\infty) \), убывает на \( x \in (-\infty; -2] \cup [0; 2] \).