ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 971 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) \((x^2 — 6x + 9)^{0.5} + (x^2 — 2x + 1)^{0.5} = 4\);

б) \(\sqrt{x + 2 — 4\sqrt{x — 2}} = 1\).

Решить уравнение:

а) \((x^2 — 6x + 9)^{0.5} + (x^2 — 2x + 1)^{0.5} = 4\);

\[
((x — 3)^2)^{0.5} + ((x — 1)^2)^{0.5} = 4;
\]

\[
|x — 3| + |x — 1| = 4;
\]

Если \( x \leq 1 \), тогда:
\[
3 — x + 1 — x = 4;
\]

\[
2x = 0, \quad x = 0;
\]

Если \( 1 < x \leq 3 \), тогда:
\[
3 — x + x — 1 = 4;
\]

\[
2 = 4,
\]

Если \( x > 3 \), тогда:
\[
x — 3 + x — 1 = 4;
\]

\[
2x = 8, \quad x = 4;
\]

Ответ: \( 0; 4 \).

б) \(\sqrt{x + 2 — 4\sqrt{x — 2}} = 1\);

\[
\sqrt{(x — 2) — 4\sqrt{x — 2} + 4} = 1;
\]

\[
\sqrt{(\sqrt{x — 2} — 2)^2} = 1;
\]

\[
|\sqrt{x — 2} — 2| = 1;
\]

Первое уравнение:
\[
\sqrt{x — 2} — 2 = -1;
\]

\[
\sqrt{x — 2} = 1;
\]

\[
x — 2 = 1, \quad x = 3;
\]

Второе уравнение:
\[
\sqrt{x — 2} — 2 = 1;
\]

\[
\sqrt{x — 2} = 3;
\]

\[
x — 2 = 9, \quad x = 11;
\]

Ответ: \( 3; 11 \).

а) Решим уравнение:

\( (x^2 — 6x + 9)^{0.5} + (x^2 — 2x + 1)^{0.5} = 4 \)

1. Упростим выражения внутри корней:

\( (x^2 — 6x + 9) = (x — 3)^2 \) и \( (x^2 — 2x + 1) = (x — 1)^2 \)

Следовательно, уравнение принимает вид:

\( \sqrt{(x — 3)^2} + \sqrt{(x — 1)^2} = 4 \)

2. Мы знаем, что \( \sqrt{a^2} = |a| \), поэтому уравнение превращается в следующее:

\( |x — 3| + |x — 1| = 4 \)

Теперь рассмотрим три случая для значений \( x \), так как модули могут принимать разные значения в зависимости от того, больше ли \( x \), чем 3, или меньше.

Если \( x \leq 1 \):

Для \( x \leq 1 \), \( |x — 3| = 3 — x \) и \( |x — 1| = 1 — x \). Подставляем в уравнение:

\( 3 — x + 1 — x = 4 \)

\( 4 — 2x = 4 \)

Переносим 4 на левую сторону:

\( -2x = 0 \), отсюда \( x = 0 \).

Проверим: подставим \( x = 0 \) в исходное уравнение:

\( |0 — 3| + |0 — 1| = 3 + 1 = 4 \), что верно.

Таким образом, \( x = 0 \) — решение уравнения в данном случае.

Если \( 1 < x \leq 3 \):

Для \( 1 < x \leq 3 \), \( |x — 3| = 3 — x \) и \( |x — 1| = x — 1 \). Подставляем в уравнение:

\( 3 — x + x — 1 = 4 \)

\( 2 = 4 \), что является противоречием. Таким образом, решений в этом интервале нет.

Если \( x > 3 \):

Для \( x > 3 \), \( |x — 3| = x — 3 \) и \( |x — 1| = x — 1 \). Подставляем в уравнение:

\( x — 3 + x — 1 = 4 \)

\( 2x — 4 = 4 \)

Добавляем 4 к обеим частям:

\( 2x = 8 \), отсюда \( x = 4 \).

Проверим: подставим \( x = 4 \) в исходное уравнение:

\( |4 — 3| + |4 — 1| = 1 + 3 = 4 \), что верно.

Таким образом, \( x = 4 \) — решение уравнения в данном случае.

Ответ: \( x = 0; 4 \)

б) Решим уравнение:

\( \sqrt{x + 2 — 4\sqrt{x — 2}} = 1 \)

1. Рассмотрим выражение внутри квадратного корня:

\( x + 2 — 4\sqrt{x — 2} \)

Приводим это выражение к следующему виду:

\( \sqrt{(x — 2) — 4\sqrt{x — 2} + 4} = 1 \)

2. Упростим:

\( \sqrt{(\sqrt{x — 2} — 2)^2} = 1 \)

3. Мы знаем, что \( \sqrt{a^2} = |a| \), таким образом, уравнение преобразуется в:

\( |\sqrt{x — 2} — 2| = 1 \)

Теперь рассмотрим два случая:

Первое уравнение:

\( \sqrt{x — 2} — 2 = -1 \)

Переносим 2 на правую сторону:

\( \sqrt{x — 2} = 1 \)

Возводим обе стороны в квадрат:

\( x — 2 = 1 \), отсюда \( x = 3 \).

Проверим: подставим \( x = 3 \) в исходное уравнение:

\( \sqrt{3 + 2 — 4\sqrt{3 — 2}} = \sqrt{5 — 4 \cdot 1} = \sqrt{1} = 1 \), что верно.

Таким образом, \( x = 3 \) — решение уравнения в этом случае.

Второе уравнение:

\( \sqrt{x — 2} — 2 = 1 \)

Переносим 2 на правую сторону:

\( \sqrt{x — 2} = 3 \)

Возводим обе стороны в квадрат:

\( x — 2 = 9 \), отсюда \( x = 11 \).

Проверим: подставим \( x = 11 \) в исходное уравнение:

\( \sqrt{11 + 2 — 4\sqrt{11 — 2}} = \sqrt{13 — 4 \cdot 3} = \sqrt{13 — 12} = \sqrt{1} = 1 \), что верно.

Таким образом, \( x = 11 \) — решение уравнения в этом случае.

Ответ: \( x = 3; 11 \)