ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 968 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

1. Решите уравнение:

а) \( x^{\frac{1}{3}} + x^{-\frac{1}{3}} = \frac{4}{13}(x + x^{-1}) \);

б) \( x^{\frac{1}{3}}(x + 19)^{-\frac{1}{3}} + x^{-\frac{1}{3}} = 2\frac{1}{6} \).

Решить уравнение:

а) \( x^{\frac{1}{3}} + x^{-\frac{1}{3}} = \frac{4}{13}(x + x^{-1}) \);

Пусть \( y = x^{\frac{1}{3}} \), тогда:
\[
y + \frac{1}{y} = \frac{4}{13}\left(y^3 + \frac{1}{y^3}\right);
\]

\[
y + \frac{1}{y} = \frac{4}{13}\left(y + \frac{1}{y}\right)\left(y^2 — 1 + \frac{1}{y^2}\right);
\]

\[
\frac{4}{13}\left(y^2 — 1 + \frac{1}{y^2}\right) = 1;
\]

\[
4y^2 — 4 + \frac{4}{y^2} = 13;
\]

\[
4y^4 — 17y^2 + 4 = 0;
\]

\[
D = 17^2 — 4 \cdot 4 \cdot 4 = 289 — 64 = 225, \text{тогда:}
\]

\[
y_1^2 = \frac{17 — 15}{2 \cdot 4} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \quad \text{и} \quad y_2^2 = \frac{17 + 15}{2 \cdot 4} = \frac{32}{8} = 4;
\]

\[
y_1 = +\sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} \quad \text{и} \quad y_2 = +\sqrt{4} = 2;
\]

\[
x_1 = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8} \quad \text{и} \quad x_2 = 2^3 = 8;
\]

Ответ: \(\frac{1}{8}; 8\).

б) \( x^{\frac{1}{3}}(x + 19)^{-\frac{1}{3}} + x^{-\frac{1}{3}} = 2\frac{1}{6} \);

Пусть \( y = x^{\frac{1}{3}}(x + 19)^{-\frac{1}{3}} \), тогда:
\[
y + \frac{1}{y} = \frac{13}{6};
\]

\[
6y^2 — 13y + 6 = 0;
\]

\[
D = 13^2 — 4 \cdot 6 \cdot 6 = 169 — 144 = 25, \text{тогда:}
\]

\[
y_1 = \frac{13 — 5}{2 \cdot 6} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{13 + 5}{2 \cdot 6} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2};
\]

Первое значение:
\[
\left(\frac{x}{x + 19}\right)^{\frac{1}{3}} = \frac{2}{3}, \quad \frac{x}{x + 19} = \frac{8}{27};
\]

\[
27x = 8x + 152;
\]

\[
19x = 152, \quad x = 8;
\]

Второе значение:

\[
\left(\frac{x}{x + 19}\right)^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{2}, \quad \frac{x}{x + 19} = \frac{27}{8};
\]

\[
8x = 27x + 513;
\]

\[
19x = -513, \quad x = -27;
\]

Ответ: \(8\).

а) Решим уравнение:

\( x^{\frac{1}{3}} + x^{-\frac{1}{3}} = \frac{4}{13}(x + x^{-1}) \)

Пусть \( y = x^{\frac{1}{3}} \), тогда уравнение примет вид:

\( y + \frac{1}{y} = \frac{4}{13} \left( y^3 + \frac{1}{y^3} \right) \)

Теперь раскрываем правую часть, используя формулу для куба:

\( y + \frac{1}{y} = \frac{4}{13} \left( y + \frac{1}{y} \right) \left( y^2 — 1 + \frac{1}{y^2} \right) \)

Теперь сокращаем на \( y + \frac{1}{y} \), при условии, что оно не равно нулю:

\( 1 = \frac{4}{13} \left( y^2 — 1 + \frac{1}{y^2} \right) \)

Умножаем обе стороны на 13:

\( 13 = 4 \left( y^2 — 1 + \frac{1}{y^2} \right) \)

Разделим на 4:

\( \frac{13}{4} = y^2 — 1 + \frac{1}{y^2} \)

Переносим 1 на левую сторону:

\( \frac{13}{4} + 1 = y^2 + \frac{1}{y^2} \)

Приводим к общему знаменателю:

\( \frac{17}{4} = y^2 + \frac{1}{y^2} \)

Теперь умножим на 4:

\( 17 = 4y^2 + \frac{4}{y^2} \)

Теперь умножим обе части на \( y^2 \), чтобы избавиться от дроби:

\( 17y^2 = 4y^4 + 4 \)

Приводим уравнение к стандартному виду:

\( 4y^4 — 17y^2 + 4 = 0 \)

Найдем дискриминант для этого уравнения:

\( D = 17^2 — 4 \cdot 4 \cdot 4 = 289 — 64 = 225 \)

Теперь найдем корни:

\( y_1^2 = \frac{17 — 15}{2 \cdot 4} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \quad \text{и} \quad y_2^2 = \frac{17 + 15}{2 \cdot 4} = \frac{32}{8} = 4 \)

Решение для \( y_1 \):

\( y_1 = +\sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} \)

Решение для \( y_2 \):

\( y_2 = +\sqrt{4} = 2 \)

Теперь находим \( x_1 \) и \( x_2 \):

\( x_1 = \left( \frac{1}{2} \right)^3 = \frac{1}{8} \quad \text{и} \quad x_2 = 2^3 = 8 \)

Ответ: \( x = \frac{1}{8}; 8 \)

б) Решим уравнение:

\( x^{\frac{1}{3}}(x + 19)^{-\frac{1}{3}} + x^{-\frac{1}{3}} = 2\frac{1}{6} \)

Пусть \( y = x^{\frac{1}{3}}(x + 19)^{-\frac{1}{3}} \), тогда уравнение примет вид:

\( y + \frac{1}{y} = \frac{13}{6} \)

Умножим обе части на \( y \):

\( 6y^2 — 13y + 6 = 0 \)

Теперь находим дискриминант:

\( D = 13^2 — 4 \cdot 6 \cdot 6 = 169 — 144 = 25 \)

Теперь находим корни:

\( y_1 = \frac{13 — 5}{2 \cdot 6} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{13 + 5}{2 \cdot 6} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2} \)

Решаем первое значение:

\( \left( \frac{x}{x + 19} \right)^{\frac{1}{3}} = \frac{2}{3}, \quad \frac{x}{x + 19} = \frac{8}{27} \)

Решаем:

\( 27x = 8x + 152 \)

\( 19x = 152, \quad x = 8 \)

Решаем второе значение:

\( \left( \frac{x}{x + 19} \right)^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{2}, \quad \frac{x}{x + 19} = \frac{27}{8} \)

Решаем:

\( 8x = 27x + 513 \)

\( 19x = -513, \quad x = -27 \)

Ответ: \( x = 8 \)