ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 967 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) \(\frac{(30 — x)\sqrt{x — 1} — (x — 1)\sqrt{30 — x}}{\sqrt{30 — x} — \sqrt{x — 1}} = 10\);

б) \(\frac{(26 — x)\sqrt{x — 6} — (x — 6)\sqrt{26 — x}}{\sqrt{26 — x} — \sqrt{x — 6}} = \text{[не завершено]}\).

Решить уравнение:

а) \(\frac{(30 — x)\sqrt{x — 1} — (x — 1)\sqrt{30 — x}}{\sqrt{30 — x} — \sqrt{x — 1}} = 10\);

\[
\frac{\sqrt{30 — x} \cdot \sqrt{x — 1} \cdot (\sqrt{30 — x} — \sqrt{x — 1})}{\sqrt{30 — x} — \sqrt{x — 1}} = 10;
\]

\[
\sqrt{30x — 30 — x^2 + x} = 10;
\]

\[
31x — 30 — x^2 = 100;
\]

\[
x^2 — 31x + 130 = 0;
\]

\[
D = 31^2 — 4 \cdot 130 = 961 — 520 = 441, \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{31 — 21}{2} = \frac{10}{2} = 5 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{31 + 21}{2} = \frac{52}{2} = 26;
\]

Область определения:
\[
30 — x \geq 0, \quad x \leq 30;
\]

\[
x — 1 \geq 0, \quad x \geq 1;
\]

Ответ: \(5; 26\).

б) \(\frac{(26 — x)\sqrt{x — 6} — (x — 6)\sqrt{26 — x}}{\sqrt{26 — x} — \sqrt{x — 6}} = 8\);

\[
\frac{\sqrt{26 — x} \cdot \sqrt{x — 6} \cdot (\sqrt{26 — x} — \sqrt{x — 6})}{\sqrt{26 — x} — \sqrt{x — 6}} = 8;
\]

\[
\sqrt{26x — 156 — x^2 + 6x} = 8;
\]

\[
32x — 156 — x^2 = 64;
\]

\[
x^2 — 32x + 220 = 0;
\]

\[
D = 32^2 — 4 \cdot 220 = 1024 — 880 = 144, \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{32 — 12}{2} = \frac{20}{2} = 10 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{32 + 12}{2} = \frac{44}{2} = 22;
\]

Область определения:
\[
26 — x \geq 0, \quad x \leq 26;
\]

\[
x — 6 \geq 0, \quad x \geq 6;
\]

Ответ: \(10; 22\).

а) Решим уравнение:

\( \frac{(30 — x)\sqrt{x — 1} — (x — 1)\sqrt{30 — x}}{\sqrt{30 — x} — \sqrt{x — 1}} = 10 \)

1. Упростим левую часть уравнения:

Первое, что можно сделать — это сократить на \( \sqrt{30 — x} — \sqrt{x — 1} \), получив:

\( \frac{\sqrt{30 — x} \cdot \sqrt{x — 1} \cdot (\sqrt{30 — x} — \sqrt{x — 1})}{\sqrt{30 — x} — \sqrt{x — 1}} = 10 \)

В результате получаем:

\( \sqrt{30x — 30 — x^2 + x} = 10 \)

2. Переносим все в одну сторону:

\( 30x — 30 — x^2 + x = 100 \)

3. Упростим выражение:

\( 31x — 30 — x^2 = 100 \)

4. Переносим 100 на левую сторону:

\( x^2 — 31x + 130 = 0 \)

5. Находим дискриминант:

\( D = 31^2 — 4 \cdot 130 = 961 — 520 = 441 \)

6. Находим корни уравнения:

\( x_1 = \frac{31 — 21}{2} = \frac{10}{2} = 5 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{31 + 21}{2} = \frac{52}{2} = 26 \)

Область определения:

\( 30 — x \geq 0 \Rightarrow x \leq 30 \)

\( x — 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1 \)

Ответ: \( x = 5; 26 \)

б) Решим уравнение:

\( \frac{(26 — x)\sqrt{x — 6} — (x — 6)\sqrt{26 — x}}{\sqrt{26 — x} — \sqrt{x — 6}} = 8 \)

1. Упростим левую часть уравнения:

Как и в предыдущем случае, сокращаем на \( \sqrt{26 — x} — \sqrt{x — 6} \), получив:

\( \frac{\sqrt{26 — x} \cdot \sqrt{x — 6} \cdot (\sqrt{26 — x} — \sqrt{x — 6})}{\sqrt{26 — x} — \sqrt{x — 6}} = 8 \)

После сокращения у нас остается:

\( \sqrt{26x — 156 — x^2 + 6x} = 8 \)

2. Переносим все в одну сторону:

\( 26x — 156 — x^2 + 6x = 64 \)

3. Упростим выражение:

\( 32x — 156 — x^2 = 64 \)

4. Переносим 64 на левую сторону:

\( x^2 — 32x + 220 = 0 \)

5. Находим дискриминант:

\( D = 32^2 — 4 \cdot 220 = 1024 — 880 = 144 \)

6. Находим корни уравнения:

\( x_1 = \frac{32 — 12}{2} = \frac{20}{2} = 10 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{32 + 12}{2} = \frac{44}{2} = 22 \)

Область определения:

\( 26 — x \geq 0 \Rightarrow x \leq 26 \)

\( x — 6 \geq 0 \Rightarrow x \geq 6 \)

Ответ: \( x = 10; 22 \)