ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 966 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

а) Решить уравнение:
\[
\sqrt{\frac{2x + 2}{x + 2}} — \sqrt{\frac{x + 2}{2x + 2}} = \frac{7}{12};
\]

Пусть \( y = \frac{2x + 2}{x + 2} \), тогда:
\[
\sqrt{y} — \frac{1}{\sqrt{y}} = \frac{7}{12};
\]

\[
12\sqrt{y} — 7\sqrt{y} — 12 = 0;
\]

\[
D = 7^2 + 4 \cdot 12 \cdot 12 = 49 + 576 = 625, \text{тогда:}
\]

\[
\sqrt{y_1} = \frac{7 — 25}{2 \cdot 12} = -\frac{3}{4} \quad \text{и} \quad \sqrt{y_2} = \frac{7 + 25}{2 \cdot 12} = \frac{4}{3};
\]

Первое значение:
\[
\sqrt{\frac{2x + 2}{x + 2}} = -\frac{3}{4}
\]

Второе значение:

\[
\sqrt{\frac{2x + 2}{x + 2}} = \frac{4}{3}, \quad \frac{2x + 2}{x + 2} = \frac{16}{9};
\]

\[
18x + 18 = 16x + 32;
\]

\[
2x = 14, \quad x = 7;
\]

Ответ: \(7\).

б) Решить уравнение:

\[
\sqrt{\frac{x — 4}{2x + 15}} + \sqrt{\frac{2x + 15}{x — 4}} = 5\frac{1}{5};
\]

Пусть \( y = \frac{x — 4}{2x + 15} \), тогда:

\[
\sqrt{y} + \frac{1}{\sqrt{y}} = \frac{26}{5};
\]

\[
5\sqrt{y} — 26\sqrt{y} + 5 = 0;
\]

\[
D = 26^2 — 4 \cdot 5 \cdot 5 = 676 — 100 = 576, \text{тогда:}
\]

\[
\sqrt{y_1} = \frac{26 — 24}{2 \cdot 5} = \frac{1}{5} \quad \text{и} \quad \sqrt{y_2} = \frac{26 + 24}{2 \cdot 5} = 5;
\]

Первое значение:

\[
\sqrt{\frac{x — 4}{2x + 15}} = \frac{1}{5}, \quad \frac{x — 4}{2x + 15} = \frac{1}{25};
\]

\[
25x — 100 = 2x + 15;
\]

\[
23x = 115, \quad x = 5;
\]

Второе значение:

\[
\sqrt{\frac{x — 4}{2x + 15}} = 5, \quad \frac{x — 4}{2x + 15} = 25;
\]

\[
x — 4 = 50x + 375;
\]

\[
49x = -379, \quad x = -7\frac{36}{49};
\]

Ответ: \(-7\frac{36}{49}; 5\).

в) Решить уравнение:
\[
\sqrt{x^2 — 2x + 9} + \sqrt{x^2 — 2x + 16} = 7;
\]

Пусть \( y = x^2 — 2x + 9 \), тогда:

\[
\sqrt{y} + \sqrt{y + 7} = 7;
\]

\[
y + 2\sqrt{y(y + 7)} + y + 7 = 49;
\]

\[
2\sqrt{y^2 + 7y} = 42 — 2y;
\]

\[
\sqrt{y^2 + 7y} = 21 — y;
\]

\[
y^2 + 7y = 441 — 42y + y^2;
\]

\[
49y = 441, \quad y = 9;
\]

Вернем замену:

\[
x^2 — 2x + 9 = 9;
\]

\[
x^2 — 2x = 0;
\]

\[
x(x — 2) = 0;
\]

\[
x_1 = 0, \quad x_2 = 2;
\]

Ответ: \(0; 2\).

г) Решить уравнение:
\[
\sqrt{\frac{6x}{x + 1.5}} + \sqrt{\frac{x + 1.5}{6x}} = 2.5;
\]

Пусть \( y = \frac{6x}{x + 1.5} \), тогда:
\[
\sqrt{y} + \frac{1}{\sqrt{y}} = \frac{5}{2};
\]

\[
2y — 5\sqrt{y} + 2 = 0;
\]

\[
D = 5^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 — 16 = 9, \text{тогда:}
\]

\[
\sqrt{y_1} = \frac{5 — 3}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2} \quad \text{и} \quad \sqrt{y_2} = \frac{5 + 3}{2 \cdot 2} = 2;
\]

Первое значение:
\[
\sqrt{\frac{6x}{x + 1.5}} = \frac{1}{2}, \quad \frac{6x}{x + 1.5} = \frac{1}{4};
\]

\[
24x = x + 1.5, \quad 23x = \frac{3}{2}, \quad x = \frac{3}{46};
\]

Второе значение:
\[
\sqrt{\frac{6x}{x + 1.5}} = 2, \quad \frac{6x}{x + 1.5} = 4;
\]

\[
6x = 4x + 6, \quad 2x = 6, \quad x = 3;
\]

Ответ: \(\frac{3}{46}; 3\).

а) Решим уравнение:

\( \sqrt{\frac{2x + 2}{x + 2}} — \sqrt{\frac{x + 2}{2x + 2}} = \frac{7}{12} \)

Пусть \( y = \frac{2x + 2}{x + 2} \), тогда уравнение примет вид:

\( \sqrt{y} — \frac{1}{\sqrt{y}} = \frac{7}{12} \)

Умножим обе части уравнения на \( \sqrt{y} \):

\( 12\sqrt{y} — 7\sqrt{y} — 12 = 0 \)

Найдем дискриминант для решения квадратного уравнения:

\( D = 7^2 + 4 \cdot 12 \cdot 12 = 49 + 576 = 625 \), тогда:

Решение уравнения дает:

\( \sqrt{y_1} = \frac{7 — 25}{2 \cdot 12} = -\frac{3}{4} \) и \( \sqrt{y_2} = \frac{7 + 25}{2 \cdot 12} = \frac{4}{3} \)

Первое значение не подходит, так как \( \sqrt{y_1} = -\frac{3}{4} \) невозможно. Проверим второе значение:

\( \sqrt{\frac{2x + 2}{x + 2}} = \frac{4}{3}, \quad \frac{2x + 2}{x + 2} = \frac{16}{9} \)

Решаем:

\( 18x + 18 = 16x + 32 \)

\( 2x = 14, \quad x = 7 \)

Ответ: \( x = 7 \)

б) Решим уравнение:

\( \sqrt{\frac{x — 4}{2x + 15}} + \sqrt{\frac{2x + 15}{x — 4}} = 5\frac{1}{5} \)

Пусть \( y = \frac{x — 4}{2x + 15} \), тогда уравнение примет вид:

\( \sqrt{y} + \frac{1}{\sqrt{y}} = \frac{26}{5} \)

Умножим обе части уравнения на \( \sqrt{y} \):

\( 5\sqrt{y} — 26\sqrt{y} + 5 = 0 \)

Найдем дискриминант для решения квадратного уравнения:

\( D = 26^2 — 4 \cdot 5 \cdot 5 = 676 — 100 = 576 \), тогда:

Решение уравнения дает:

\( \sqrt{y_1} = \frac{26 — 24}{2 \cdot 5} = \frac{1}{5} \) и \( \sqrt{y_2} = \frac{26 + 24}{2 \cdot 5} = 5 \)

Первое значение:

\( \sqrt{\frac{x — 4}{2x + 15}} = \frac{1}{5}, \quad \frac{x — 4}{2x + 15} = \frac{1}{25} \)

Решаем:

\( 25x — 100 = 2x + 15 \)

\( 23x = 115, \quad x = 5 \)

Второе значение:

\( \sqrt{\frac{x — 4}{2x + 15}} = 5, \quad \frac{x — 4}{2x + 15} = 25 \)

Решаем:

\( x — 4 = 50x + 375 \)

\( 49x = -379, \quad x = -7\frac{36}{49} \)

Ответ: \( x = -7\frac{36}{49}, 5 \)

в) Решим уравнение:

\( \sqrt{x^2 — 2x + 9} + \sqrt{x^2 — 2x + 16} = 7 \)

Пусть \( y = x^2 — 2x + 9 \), тогда уравнение примет вид:

\( \sqrt{y} + \sqrt{y + 7} = 7 \)

Возведем обе части в квадрат:

\( y + 2\sqrt{y(y + 7)} + y + 7 = 49 \)

Упростим выражение:

\( 2\sqrt{y^2 + 7y} = 42 — 2y \)

Возводим обе части в квадрат:

\( y^2 + 7y = 441 — 42y + y^2 \)

Убираем \( y^2 \) с обеих сторон:

\( 49y = 441 \), что дает \( y = 9 \)

Теперь подставим \( y = 9 \) обратно в замену:

\( x^2 — 2x + 9 = 9 \)

\( x^2 — 2x = 0 \)

\( x(x — 2) = 0 \)

Таким образом, получаем два корня:

\( x_1 = 0, \quad x_2 = 2 \)

Ответ: \( x = 0, 2 \)

г) Решим уравнение:

\( \sqrt{\frac{6x}{x + 1.5}} + \sqrt{\frac{x + 1.5}{6x}} = 2.5 \)

Пусть \( y = \frac{6x}{x + 1.5} \), тогда уравнение примет вид:

\( \sqrt{y} + \frac{1}{\sqrt{y}} = \frac{5}{2} \)

Умножим обе части уравнения на \( \sqrt{y} \):

\( 2y — 5\sqrt{y} + 2 = 0 \)

Найдем дискриминант для решения квадратного уравнения:

\( D = 5^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 — 16 = 9 \), тогда:

Решение уравнения дает:

\( \sqrt{y_1} = \frac{5 — 3}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2} \) и \( \sqrt{y_2} = \frac{5 + 3}{2 \cdot 2} = 2 \)

Первое значение:

\( \sqrt{\frac{6x}{x + 1.5}} = \frac{1}{2}, \quad \frac{6x}{x + 1.5} = \frac{1}{4} \)

Решаем:

\( 24x = x + 1.5, \quad 23x = \frac{3}{2}, \quad x = \frac{3}{46} \)

Второе значение:

\( \sqrt{\frac{6x}{x + 1.5}} = 2, \quad \frac{6x}{x + 1.5} = 4 \)

Решаем:

\( 6x = 4x + 6, \quad 2x = 6, \quad x = 3 \)

Ответ: \( x = \frac{3}{46}, 3 \)