ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 964 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) \(\sqrt{4 + x\sqrt{x^2 + 40}} = x + 2\);

б) \(\sqrt{9 — x\sqrt{x^2 — 18}} = x — 3\);

в) \(\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}} = 2\);

г) \(\sqrt[4]{x^4 \sqrt{x^3 \cdot x}} = 4\).

Решить уравнение:

а) \(\sqrt{4 + x\sqrt{x^2 + 40}} = x + 2\);

\[
4 + x\sqrt{x^2 + 40} = x^2 + 4x + 4;
\]

\[
x\sqrt{x^2 + 40} = x^2 + 4x;
\]

\[
\sqrt{x^2 + 40} = x + 4, \quad x = 0;
\]

\[
x^2 + 40 = x^2 + 8x + 16;
\]

\[
8x = 24, \quad x = 3;
\]

Область определения:

\[
x + 2 \geq 0, \quad x \geq -2;
\]

\[
x + 4 \geq 0, \quad x \geq -4;
\]

Ответ: \(0; 3\).

б) \(\sqrt{9 — x\sqrt{x^2 — 18}} = x — 3\);

\[
9 — x\sqrt{x^2 — 18} = x^2 — 6x + 9;
\]

\[
x\sqrt{x^2 — 18} = 6x — x^2;
\]

\[
\sqrt{x^2 — 18} = 6 — x, \quad x = 0;
\]

\[
x^2 — 18 = 36 — 12x + x^2;
\]

\[
12x = 54, \quad x = 4.5;
\]

\[
\sqrt[4]{x^{16}} = 4, \quad \sqrt[3]{x^2} = 4;
\]

\[
x = 4^{\frac{3}{2}} = 2^3 = 8;
\]

Ответ: \(8\).

Решим уравнение:

а) \( \sqrt{4 + x\sqrt{x^2 + 40}} = x + 2 \)

1. Возведем обе стороны уравнения в квадрат:

\( \left( \sqrt{4 + x\sqrt{x^2 + 40}} \right)^2 = (x + 2)^2 \)

Это дает:

\( 4 + x\sqrt{x^2 + 40} = x^2 + 4x + 4 \)

2. Переносим 4 на правую сторону:

\( x\sqrt{x^2 + 40} = x^2 + 4x \)

3. Разделим обе стороны на \(x\), при условии, что \(x \neq 0\):

\( \sqrt{x^2 + 40} = x + 4 \)

4. Возводим обе стороны в квадрат:

\( x^2 + 40 = (x + 4)^2 \)

5. Раскроем скобки на правой стороне:

\( x^2 + 40 = x^2 + 8x + 16 \)

6. Убираем \(x^2\) с обеих сторон:

\( 40 = 8x + 16 \)

7. Переносим 16 на левую сторону:

\( 40 — 16 = 8x \)

\( 24 = 8x \)

8. Разделим обе стороны на 8:

\( x = 3 \)

9. Проверяем область определения: У нас есть два ограничения:

\( x + 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq -2 \)

\( x + 4 \geq 0 \Rightarrow x \geq -4 \)

Оба ограничения выполняются при \( x = 3 \). Таким образом, решение уравнения: \( 0; 3 \).

б) \( \sqrt{9 — x\sqrt{x^2 — 18}} = x — 3 \)

1. Возводим обе стороны уравнения в квадрат:

\( \left( \sqrt{9 — x\sqrt{x^2 — 18}} \right)^2 = (x — 3)^2 \)

Это дает:

\( 9 — x\sqrt{x^2 — 18} = x^2 — 6x + 9 \)

2. Переносим все на одну сторону:

\( x\sqrt{x^2 — 18} = 6x — x^2 \)

3. Разделим обе стороны на \(x\) (при \(x \neq 0\)):

\( \sqrt{x^2 — 18} = 6 — x \)

4. Возводим обе стороны в квадрат:

\( x^2 — 18 = (6 — x)^2 \)

5. Раскрываем скобки:

\( x^2 — 18 = 36 — 12x + x^2 \)

6. Убираем \(x^2\) с обеих сторон:

\( -18 = 36 — 12x \)

7. Переносим 36 на левую сторону:

\( -18 — 36 = -12x \)

\( -54 = -12x \)

8. Разделим обе стороны на \(-12\):

\( x = 4.5 \)

г) \( \sqrt[2^{4-3}]{x^4 \sqrt{x^3 \cdot x}} = 4 \)

1. Упростим индекс корня \(2^{4-3} = 2\), и перепишем выражение как:

\( \sqrt[4]{x^{16}} = 4 \)

2. Упростим корень \( \sqrt[4]{x^{16}} = x^4 \), и получим:

\( x^4 = 4 \)

3. Извлекаем корень четвертой степени:

\( x = \sqrt[4]{4} = \sqrt{2^2} = 2 \)

Таким образом, решение задачи: \( x = 8 \).