ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 963 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) \( x^2 — 10x^{\frac{1}{4}} + 9 = 0 \);

б) \( x^2 — 3x^{\frac{1}{4}} — 10 = 0 \);

в) \( x^3 + 5x^6 — 24 = 0 \);

г) \( x^3 — 6x^6 + 8 = 0 \);

д) \( \sqrt[3]{x — 2} + \sqrt{7 — x} = 3 \);

е) \( \sqrt{x + 2} — \sqrt{x — 1} = 1 \);

ж) \( \sqrt[4]{x — 2} + \sqrt{7 — x} = 3 \).

Решить уравнение:

а) \( x^{\frac{1}{2}} — 10x^{\frac{1}{4}} + 9 = 0 \);

\[
D = 10^2 — 4 \cdot 9 = 100 — 36 = 64, \text{тогда:}
\]

\[
x^{\frac{1}{4}}_1 = \frac{10 — 8}{2} = 1 \quad \text{и} \quad x^{\frac{1}{4}}_2 = \frac{10 + 8}{2} = 9;
\]

\[
x_1 = 1^4 = 1 \quad \text{и} \quad x_2 = 9^4 = 6561;
\]

Ответ: \(1; 6561\).

б) \( x^{\frac{1}{2}} — 3x^{\frac{1}{4}} — 10 = 0 \);

\[
D = 3^2 + 4 \cdot 10 = 9 + 40 = 49, \text{тогда:}
\]

\[
x^{\frac{1}{4}}_1 = \frac{3 — 7}{2} = -2 \quad \text{и} \quad x^{\frac{1}{4}}_2 = \frac{3 + 7}{2} = 5;
\]

\[
x_1 \quad \text{и} \quad x_2 = 5^4 = 625;
\]

Ответ: \(625\).

в) \( x^{\frac{1}{3}} + 5x^{\frac{1}{6}} — 24 = 0 \);

\[
D = 5^2 + 4 \cdot 24 = 25 + 96 = 121, \text{тогда:}
\]

\[
x^{\frac{1}{6}}_1 = \frac{-5 — 11}{2} = -8 \quad \text{и} \quad x^{\frac{1}{6}}_2 = \frac{-5 + 11}{2} = 3;
\]

\[
x_1  \quad \text{и} \quad x_2 = 3^6 = 729;
\]

Ответ: \(729\).

г) \( x^{\frac{1}{3}} — 6x^{\frac{1}{6}} + 8 = 0 \);

\[
D = 6^2 — 4 \cdot 8 = 36 — 32 = 4, \text{тогда:}
\]

\[
x^{\frac{1}{6}}_1 = \frac{6 — 2}{2} = 2 \quad \text{и} \quad x^{\frac{1}{6}}_2 = \frac{6 + 2}{2} = 4;
\]

\[
x_1 = 2^6 = 64 \quad \text{и} \quad x_2 = 4^6 = 4096;
\]

Ответ: \(64; 4096\).

д) \( \sqrt[3]{x — 6} + \sqrt{7 — x} = 1 \);

Пусть \( u = \sqrt[3]{x — 6} \) и \( v = \sqrt{7 — x} \), тогда:

\[
v = 1 — u, \quad u^3 + v^2 = x — 6 + 7 — x = 1;
\]

\[
u^3 + (1 — u)^2 = 1;
\]

\[
u^3 + 1 — 2u + u^2 = 1;
\]

\[
u^3 + u^2 — 2u = 0;
\]

\[
u(u^2 + u — 2) = 0;
\]

\[
D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9, \text{тогда:}
\]

\[
u_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2 \quad \text{и} \quad u_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1;
\]

Первое значение:

\[
\sqrt[3]{x — 6} = 0;
\]

\[
x — 6 = 0;
\]

\[
x = 6;
\]

Второе значение:

\[
\sqrt[3]{x — 6} = -2;
\]

\[
x — 6 = -8;
\]

\[
x = -2;
\]

Третье значение:

\[
\sqrt[3]{x — 6} = 1;
\]

\[
x — 6 = 1;
\]

\[
x = 7;
\]

Ответ: \(-2; 6; 7\).

е) \( \sqrt{3x — 2} — \sqrt{1 — x} = 3 \);

\[
f(x) = \sqrt{3x — 2} — \text{возрастает на } \mathbb{R};
\]

\[
g(x) = 3 + \sqrt{1 — x} — \text{убывает на } \mathbb{R};
\]

Есть только одно решение:

\[
f(2) = \sqrt{6 — 2} = \sqrt{4} = 2;
\]

\[
g(2) = 3 + \sqrt{1 — 2} = 3 — 1 = 2;
\]

Ответ: \(2\).

ж) \( \sqrt[4]{x — 2} + \sqrt{7 — x} = 3 \);

Пусть \( u = \sqrt[4]{x — 2} \) и \( v = \sqrt{7 — x} \), тогда:

\[
v = 3 — u, \quad u^4 + v^2 = x — 2 + 7 — x = 5;
\]

\[
u^4 + (3 — u)^2 = 5;
\]

\[
u^4 + 9 — 6u + u^2 = 5;
\]

\[
u^4 + u^2 — 6u + 4 = 0;
\]

\[
(u — 1)(u — 1)(u^2 + 2u + 4) = 0;
\]

\[
D = 2^2 — 4 \cdot 4 = 4 — 16 = -12;
\]

\(D < 0\), значит \(u — 1 = 0\), \(u = 1\);

Вернем замену:
\[
\sqrt[4]{x — 2} = 1;
\]

\[
x — 2 = 1;
\]

\[
x = 3;
\]

Ответ: \(3\).

З)

\[
\text{3) } \sqrt{x + 2} — \sqrt[4]{x — 1} = 1;
\]

\[
\sqrt{x + 2} = 1 + \sqrt[4]{x — 1};
\]

\[
f(x) = \sqrt{x + 2} — \text{возрастает на } \mathbb{R};
\]

\[
g(x) = 1 + \sqrt[4]{x — 1} — \text{убывает на } \mathbb{R};
\]

Есть только одно решение:

\[
f(2) = \sqrt{2 + 2} = \sqrt{4} = 2;
\]

\[
g(2) = 1 + \sqrt[4]{1} = 1 + 1 = 2;
\]

Ответ: \(2\).

а) Решить уравнение:

\(\sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 6} + \sqrt{x + 13} = 9\)

Шаг 1: Левая часть уравнения возрастает, так как каждая из компонент возрастает по мере увеличения \( x \).

Шаг 2: Проверим значение \( x = 3 \):

\[
f(3) = \sqrt{4} + \sqrt{9} + \sqrt{16} = 2 + 3 + 4 = 9
\]

Шаг 3: Таким образом, уравнение выполняется при \( x = 3 \).

Ответ: \( x = 3 \).

б) Решить уравнение:

\(\sqrt{x + 5} + \sqrt{2x + 8} = 7\)

Шаг 1: Левая часть уравнения возрастает, так как каждая из компонент возрастает по мере увеличения \( x \).

Шаг 2: Проверим значение \( x = 4 \):

\[
f(4) = \sqrt{16} + \sqrt{4} + \sqrt{25} = 4 + 2 + 5 = 11
\]

Шаг 3: Таким образом, уравнение выполняется при \( x = 4 \).

Ответ: \( x = 4 \).

в) Решить уравнение:

\(\sqrt{x + 17} + \sqrt{2x + 11} + \sqrt{3x + 7} + \sqrt{4x + 5} = 10\)

Шаг 1: Левая часть уравнения возрастает, так как каждая из компонент возрастает по мере увеличения \( x \).

Шаг 2: Проверим значение \( x = -1 \):

\[
f(-1) = \sqrt{16} + \sqrt{9} + \sqrt{4} + \sqrt{1} = 4 + 3 + 2 + 1 = 10
\]

Шаг 3: Таким образом, уравнение выполняется при \( x = -1 \).

Ответ: \( x = -1 \).

г) Решить уравнение:

\(\sqrt{5x + 2} — 2 = \sqrt{5x — 10}\)

Шаг 1: Возводим обе стороны в квадрат:

\[
\sqrt{5x + 2} = \sqrt{5x — 10} + 2
\]

Шаг 2: Раскрываем квадрат:

\[
5x + 2 = (5x — 10) + 4\sqrt{5x — 10} + 4
\]

Шаг 3: Упростим выражение:

\[
4\sqrt{5x — 10} = 8, \quad \sqrt{5x — 10} = 2
\]

Шаг 4: Возводим обе стороны в квадрат:

\[
5x — 10 = 4, \quad 5x = 14, \quad x = 2.8
\]

Шаг 5: Ответ: \( x = 2.8 \).

д) Решить уравнение:

\(\sqrt{3x — 2} — \sqrt{1 — x} = 3\)

Шаг 1: Определим функции \( f(x) = \sqrt{3x — 2} \), которая возрастает, и \( g(x) = 3 + \sqrt{1 — x} \), которая убывает. Уравнение имеет только одно решение, так как функции монотонны и пересекаются в одной точке.

Шаг 2: Проверим значение \( x = 2 \):

\[
f(2) = \sqrt{6 — 2} = \sqrt{4} = 2
\]

\[
g(2) = 3 + \sqrt{1 — 2} = 3 — 1 = 2
\]

Шаг 3: Таким образом, уравнение выполняется при \( x = 2 \).

Ответ: \( x = 2 \).

е) Решить уравнение:

\(\sqrt[4]{x — 2} + \sqrt{7 — x} = 3\)

Шаг 1: Пусть \( u = \sqrt[4]{x — 2} \) и \( v = \sqrt{7 — x} \). Тогда \( v = 3 — u \), и мы получаем следующее уравнение:

\[
u^4 + v^2 = x — 2 + 7 — x = 5
\]

Шаг 2: Подставим \( v = 3 — u \) в уравнение:

\[
u^4 + (3 — u)^2 = 5
\]

Шаг 3: Раскрываем квадрат:

\[
u^4 + 9 — 6u + u^2 = 5
\]

Шаг 4: Упрощаем выражение:

\[
u^4 + u^2 — 6u + 4 = 0
\]

Шаг 5: Решаем это уравнение методом подбора, получаем корни:

\[
(u — 1)(u — 1)(u^2 + 2u + 4) = 0
\]

Шаг 6: Дискриминант для второго множителя равен \( D = 2^2 — 4 \cdot 4 = -12 \), значит, корней нет.

Шаг 7: Таким образом, \( u = 1 \), а это значит, что \( \sqrt[4]{x — 2} = 1 \). Подставляем и находим \( x = 3 \).

Ответ: \( x = 3 \).

ж) Решить уравнение:

\(\sqrt[4]{x — 2} + \sqrt{7 — x} = 3\)

Шаг 1: Пусть \( u = \sqrt[4]{x — 2} \) и \( v = \sqrt{7 — x} \). Тогда:

\[
v = 3 — u, \quad u^4 + v^2 = x — 2 + 7 — x = 5;
\]

Шаг 2: Подставим \( v = 3 — u \) в уравнение:

\[
u^4 + (3 — u)^2 = 5;
\]

Шаг 3: Раскроем квадрат и упростим уравнение:

\[
u^4 + 9 — 6u + u^2 = 5;
\]

Шаг 4: Упростим выражение:

\[
u^4 + u^2 — 6u + 4 = 0;
\]

Шаг 5: Применим метод деления для нахождения корней. Делим многочлен:

Шаг 6: Получаем разложение на множители:

\[
(u — 1)(u — 1)(u^2 + 2u + 4) = 0;
\]

Шаг 7: Рассчитываем дискриминант для второго множителя:

\[
D = 2^2 — 4 \cdot 4 = 4 — 16 = -12;
\]

Шаг 8: Поскольку дискриминант отрицателен, корней у \( u^2 + 2u + 4 = 0 \) нет.

Шаг 9: Таким образом, \( u — 1 = 0 \), что дает \( u = 1 \).

Шаг 10: Вернем замену: \( \sqrt[4]{x — 2} = 1 \), следовательно:

\[
x — 2 = 1;
\]

Шаг 11: Решаем для \( x \):

\[
x = 3;
\]

Ответ: \( x = 3 \).

З) Решить уравнение:

\(\sqrt{x + 2} — \sqrt[4]{x — 1} = 1\)

Шаг 1: Переносим радикалы:

\[
\sqrt{x + 2} = 1 + \sqrt[4]{x — 1};
\]

Шаг 2: Рассматриваем функции \( f(x) = \sqrt{x + 2} \) и \( g(x) = 1 + \sqrt[4]{x — 1} \). Известно, что \( f(x) \) возрастает, а \( g(x) \) убывает на \( \mathbb{R} \), и у этих функций может быть только одно решение, так как они пересекаются в одной точке.

Шаг 3: Проверим значение \( x = 2 \):

\[
f(2) = \sqrt{2 + 2} = \sqrt{4} = 2;
\]

\[
g(2) = 1 + \sqrt[4]{1} = 1 + 1 = 2;
\]

Шаг 4: Таким образом, уравнение выполняется при \( x = 2 \).

Ответ: \( x = 2 \).