ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 961 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) \(\sqrt{4 — x} + \sqrt{5 + x} = 3\);

б) \(\sqrt{x + 5} + \sqrt{2x + 8} = 7\);

в) \(\sqrt{3x + 4} — 3 = \sqrt{x — 3}\);

г) \(\sqrt{5x + 2} — 2 = \sqrt{5x — 10}\).

Решить уравнение:

а) \(\sqrt{4 — x} + \sqrt{5 + x} = 3\);

\[
(4 — x) + 2\sqrt{(4 — x)(5 + x)} + (5 + x) = 9;
\]

\[
2\sqrt{20 + 4x — 5x — x^2} = 0;
\]

\[
20 — x — x^2 = 0;
\]

\[
x^2 + x — 20 = 0;
\]

\[
D = 1^2 + 4 \cdot 20 = 1 + 80 = 81, \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{-1 — 9}{2} = -5 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-1 + 9}{2} = 4;
\]

Область определения:

\[
4 — x \geq 0, \quad x \leq 4;
\]

\[
5 + x \geq 0, \quad x \geq -5;
\]

Ответ: \(-5; 4\).

б) \(\sqrt{x + 5} + \sqrt{2x + 8} = 7\);

\[
(x + 5) + 2\sqrt{(x + 5)(2x + 8)} + (2x + 8) = 49;
\]

\[
2\sqrt{2x^2 + 8x + 10x + 40} = 36 — 3x;
\]

\[
4(2x^2 + 18x + 40) = 9(144 — 24x + x^2);
\]

\[
8x^2 + 72x + 160 = 1296 — 216x + 9x^2;
\]

\[
x^2 — 288x + 1136 = 0;
\]

\[
D = 288^2 — 4 \cdot 1136 = 82944 — 4544 = 78400, \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{288 — 280}{2} = \frac{8}{2} = 4 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{288 + 280}{2} = 284;
\]

Область определения:

\[
x + 5 \geq 0, \quad x \geq -5;
\]

\[
2x + 8 \geq 0, \quad x \geq -4;
\]

\[
36 — 3x \geq 0, \quad x \leq 12;
\]

Ответ: \(4\).

в) \(\sqrt{3x + 4} — 3 = \sqrt{x — 3}\);

\[
\sqrt{3x + 4} = \sqrt{x — 3} + 3;
\]

\[
3x + 4 = (x — 3) + 6\sqrt{x — 3} + 9;
\]

\[
2x — 2 = 6\sqrt{x — 3};
\]

\[
x — 1 = 3\sqrt{x — 3};
\]

\[
x^2 — 2x + 1 = 9(x — 3);
\]

\[
x^2 — 2x + 1 = 9x — 27;
\]

\[
x^2 — 11x + 28 = 0;
\]

\[
D = 11^2 — 4 \cdot 28 = 121 — 112 = 9, \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{11 — 3}{2} = \frac{8}{2} = 4 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{11 + 3}{2} = 7;
\]

Область определения:

\[
3x + 4 \geq 0, \quad x \geq -\frac{4}{3};
\]

\[
x — 3 \geq 0, \quad x \geq 3;
\]

\[
x — 1 \geq 0, \quad x \geq 1;
\]

Ответ: \(4; 7\).

г) \(\sqrt{5x + 2} — 2 = \sqrt{5x — 10}\);

\[
\sqrt{5x + 2} = \sqrt{5x — 10} + 2;
\]

\[
5x + 2 = (5x — 10) + 4\sqrt{5x — 10} + 4;
\]

\[
4\sqrt{5x — 10} = 8, \quad \sqrt{5x — 10} = 2;
\]

\[
5x — 10 = 4, \quad 5x = 14, \quad x = 2.8;
\]

Область определения:

\[
5x + 2 \geq 0, \quad x \geq -0.4;
\]

\[
5x — 10 \geq 0, \quad x \geq 2;
\]

Ответ: \(2.8\).

а) Решить уравнение:

\(\sqrt{4 — x} + \sqrt{5 + x} = 3\)

Шаг 1: Возводим обе стороны в квадрат:

\[
(4 — x) + 2\sqrt{(4 — x)(5 + x)} + (5 + x) = 9
\]

Шаг 2: Упростим выражение:

\[
9 — x — x^2 = 0
\]

Шаг 3: Решим полученное квадратное уравнение:

\[
x^2 + x — 20 = 0
\]

Шаг 4: Находим дискриминант:

\[
D = 9^2 — 4 \cdot 20 = 81 — 72 = 9
\]

Шаг 5: Находим корни уравнения:

\[
x_1 = \frac{-1 — 9}{2} = -5 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-1 + 9}{2} = 4
\]

Шаг 6: Определяем область определения: \(4 — x \geq 0\), то есть \(x \leq 4\), и \(5 + x \geq 0\), то есть \(x \geq -5\).

Шаг 7: Ответ: \(x = -5; 4\).

б) Решить уравнение:

\(\sqrt{x + 5} + \sqrt{2x + 8} = 7\)

Шаг 1: Возводим обе стороны в квадрат:

\[
(x + 5) + 2\sqrt{(x + 5)(2x + 8)} + (2x + 8) = 49
\]

Шаг 2: Упростим выражение:

\[
2\sqrt{2x^2 + 8x + 10x + 40} = 36 — 3x
\]

Шаг 3: Преобразуем уравнение:

\[
4(2x^2 + 18x + 40) = 9(144 — 24x + x^2)
\]

Шаг 4: Упростим полученное уравнение:

\[
8x^2 + 72x + 160 = 1296 — 216x + 9x^2
\]

Шаг 5: Переносим все на одну сторону:

\[
x^2 — 288x + 1136 = 0
\]

Шаг 6: Находим дискриминант:

\[
D = 288^2 — 4 \cdot 1136 = 82944 — 4544 = 78400
\]

Шаг 7: Находим корни уравнения:

\[
x_1 = \frac{288 — 280}{2} = \frac{8}{2} = 4 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{288 + 280}{2} = 284
\]

Шаг 8: Определяем область определения: \(x + 5 \geq 0\), то есть \(x \geq -5\); \(2x + 8 \geq 0\), то есть \(x \geq -4\); и \(36 — 3x \geq 0\), то есть \(x \leq 12\).

Шаг 9: Ответ: \(x = 4\).

в) Решить уравнение:

\(\sqrt{3x + 4} — 3 = \sqrt{x — 3}\)

Шаг 1: Возводим обе стороны в квадрат:

\[
\sqrt{3x + 4} = \sqrt{x — 3} + 3
\]

Шаг 2: Раскрываем квадрат:

\[
3x + 4 = (x — 3) + 6\sqrt{x — 3} + 9
\]

Шаг 3: Упростим выражение:

\[
2x — 2 = 6\sqrt{x — 3}
\]

Шаг 4: Разделим обе части на 6:

\[
x — 1 = 3\sqrt{x — 3}
\]

Шаг 5: Возводим обе стороны в квадрат:

\[
(x — 1)^2 = 9(x — 3)
\]

Шаг 6: Раскрываем квадрат и упрощаем уравнение:

\[
x^2 — 2x + 1 = 9x — 27
\]

Шаг 7: Переносим все на одну сторону:

\[
x^2 — 11x + 28 = 0
\]

Шаг 8: Находим дискриминант:

\[
D = 11^2 — 4 \cdot 28 = 121 — 112 = 9
\]

Шаг 9: Находим корни уравнения:

\[
x_1 = \frac{11 — 3}{2} = 4 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{11 + 3}{2} = 7
\]

Шаг 10: Определяем область определения: \(3x + 4 \geq 0\), то есть \(x \geq -\frac{4}{3}\); \(x — 3 \geq 0\), то есть \(x \geq 3\); и \(x — 1 \geq 0\), то есть \(x \geq 1\).

Шаг 11: Ответ: \(x = 4; 7\).

г) Решить уравнение:

\(\sqrt{5x + 2} — 2 = \sqrt{5x — 10}\)

Шаг 1: Возводим обе стороны в квадрат:

\[
\sqrt{5x + 2} = \sqrt{5x — 10} + 2
\]

Шаг 2: Раскрываем квадрат:

\[
5x + 2 = (5x — 10) + 4\sqrt{5x — 10} + 4
\]

Шаг 3: Упростим выражение:

\[
4\sqrt{5x — 10} = 8, \quad \sqrt{5x — 10} = 2
\]

Шаг 4: Возводим обе стороны в квадрат:

\[
5x — 10 = 4, \quad 5x = 14, \quad x = 2.8
\]

Шаг 5: Определяем область определения: \(5x + 2 \geq 0\), то есть \(x \geq -0.4\); и \(5x — 10 \geq 0\), то есть \(x \geq 2\).

Шаг 6: Ответ: \(x = 2.8\).