ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 959 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите корни уравнения:

а) \(\sqrt{x — 2} = x — 4\);

б) \(\sqrt{x — 2} = 4 — x\);

в) \(\sqrt{3x + 1} = x — 3\);

г) \(\sqrt[3]{3x^3 + 8x + 10} = x\);

д) \(\sqrt[3]{6x^2 — 4x + 1} = 1 — x\).

Решить уравнение:

а) \(\sqrt{x — 2} = x — 4\);
\[
x — 2 = x^2 — 8x + 16;
\]

\[
x^2 — 9x + 18 = 0;
\]

\[
D = 9^2 — 4 \cdot 18 = 81 — 72 = 9, \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{9 — 3}{2} = 3 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{9 + 3}{2} = 6;
\]

Область определения:

\[
x — 4 \geq 0, \quad x \geq 4;
\]

Ответ: \(6\).

б) \(\sqrt{x — 2} = 4 — x\);
\[
x — 2 = x^2 — 8x + 16;
\]

\[
x^2 — 9x + 18 = 0;
\]

\[
D = 9^2 — 4 \cdot 18 = 81 — 72 = 9, \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{9 — 3}{2} = 3 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{9 + 3}{2} = 6;
\]

Область определения:

\[
4 — x \geq 0, \quad x \leq 4;
\]

Ответ: \(3\).

в) \(\sqrt{3x + 1} = x — 3\);
\[
3x + 1 = x^2 — 6x + 9;
\]

\[
x^2 — 9x + 8 = 0;
\]

\[
D = 9^2 — 4 \cdot 8 = 81 — 32 = 49, \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{9 — 7}{2} = 1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{9 + 7}{2} = 8;
\]

Область определения:

\[
x — 3 \geq 0, \quad x \geq 3;
\]

Ответ: \(8\).

г) \(\sqrt[3]{3x^2 + 8x + 10} = x\);
\[
3x^2 + 8x + 10 = x^3;
\]

\[
x^3 — 3x^2 — 8x — 10 = 0;
\]

|     | 1 | -3 | -8 | -10 |
|—|—|—-|—-|——|
| 5 | 1  |   2  |   2 |  0   |

\[
(x — 5)(x^2 + 2x + 2) = 0;
\]

\[
D = 2^2 — 4 \cdot 2 = 4 — 8 = -4;
\]

\(D < 0\), значит \(x — 5 = 0\), \(x = 5\);

Ответ: \(5\).

д) \(\sqrt[3]{28 — 23x — x^3} = 3 — x\);
\[
28 — 23x — x^3 = 27 — 27x + 9x^2 — x^3;
\]

\[
9x^2 — 4x — 1 = 0;
\]

\[
D = 4^2 + 4 \cdot 9 = 16 + 36 = 52, \text{тогда:}
\]

\[
x = \frac{4 \pm \sqrt{52}}{2 \cdot 9} = \frac{4 \pm 2\sqrt{13}}{2 \cdot 9} = \frac{2 \pm \sqrt{13}}{9};
\]

Ответ: \(\frac{2 — \sqrt{13}}{9}; \frac{2 + \sqrt{13}}{9}\).

е) \(\sqrt[4]{6x^2 — 4x + 1} = 1 — x\);
\[
6x^2 — 4x + 1 = x^4 — 4x^3 + 6x^2 — 4x + 1;
\]

\[
x^4 — 4x^3 = 0;
\]

\[
x^3(x — 4) = 0;
\]

\[
x_1 = 0, \quad x_2 = 4;
\]

Область определения:

\[
1 — x \geq 0, \quad x \leq 1;
\]

Ответ: \(0\).

а) Решить уравнение:

\(\sqrt{x — 2} = x — 4\)

Шаг 1: Возводим обе стороны в квадрат:

\[
x — 2 = (x — 4)^2
\]

Шаг 2: Раскрываем квадрат справа:

\[
x — 2 = x^2 — 8x + 16
\]

Шаг 3: Переносим все на одну сторону:

\[
x^2 — 9x + 18 = 0
\]

Шаг 4: Находим дискриминант:

\[
D = 9^2 — 4 \cdot 18 = 81 — 72 = 9
\]

Шаг 5: Находим корни уравнения:

\[
x_1 = \frac{9 — 3}{2} = 3 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{9 + 3}{2} = 6
\]

Шаг 6: Проверяем область определения уравнения. Для \( \sqrt{x — 2} \) необходимо, чтобы \( x \geq 2 \). Также для \( x — 4 \geq 0 \), что даёт \( x \geq 4 \). Таким образом, \( x \geq 4 \).

Ответ: \(x = 6\).

б) Решить уравнение:

\(\sqrt{x — 2} = 4 — x\)

Шаг 1: Возводим обе стороны в квадрат:

\[
x — 2 = (4 — x)^2
\]

Шаг 2: Раскрываем квадрат справа:

\[
x — 2 = x^2 — 8x + 16
\]

Шаг 3: Переносим все на одну сторону:

\[
x^2 — 9x + 18 = 0
\]

Шаг 4: Находим дискриминант:

\[
D = 9^2 — 4 \cdot 18 = 81 — 72 = 9
\]

Шаг 5: Находим корни уравнения:

\[
x_1 = \frac{9 — 3}{2} = 3 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{9 + 3}{2} = 6
\]

Шаг 6: Проверяем область определения. Для \( \sqrt{x — 2} \), \( x \geq 2 \), а для \( 4 — x \geq 0 \), \( x \leq 4 \). Таким образом, \( x \leq 4 \).

Ответ: \(x = 3\).

в) Решить уравнение:

\(\sqrt{3x + 1} = x — 3\)

Шаг 1: Возводим обе стороны в квадрат:

\[
3x + 1 = (x — 3)^2
\]

Шаг 2: Раскрываем квадрат справа:

\[
3x + 1 = x^2 — 6x + 9
\]

Шаг 3: Переносим все на одну сторону:

\[
x^2 — 9x + 8 = 0
\]

Шаг 4: Находим дискриминант:

\[
D = 9^2 — 4 \cdot 8 = 81 — 32 = 49
\]

Шаг 5: Находим корни уравнения:

\[
x_1 = \frac{9 — 7}{2} = 1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{9 + 7}{2} = 8
\]

Шаг 6: Проверяем область определения. Для \( \sqrt{3x + 1} \) необходимо, чтобы \( 3x + 1 \geq 0 \), то есть \( x \geq -\frac{1}{3} \). Также для \( x — 3 \geq 0 \), что даёт \( x \geq 3 \).

Ответ: \(x = 8\).

г) Решить уравнение:

\(\sqrt[3]{3x^2 + 8x + 10} = x\)

Шаг 1: Возводим обе стороны в куб:

\[
3x^2 + 8x + 10 = x^3
\]

Шаг 2: Переносим все на одну сторону:

\[
x^3 — 3x^2 — 8x — 10 = 0
\]

Шаг 3: Пробуем \( x = 5 \) методом подбора:

\[
(x — 5)(x^2 + 2x + 2) = 0
\]

Шаг 4: Находим дискриминант для второго множителя:

\[
D = 2^2 — 4 \cdot 2 = 4 — 8 = -4
\]

Так как дискриминант отрицателен, корней у уравнения \( x^2 + 2x + 2 = 0 \) нет.

Шаг 5: Следовательно, единственный корень: \( x = 5 \).

Ответ: \(x = 5\).

д) Решить уравнение:

\(\sqrt[3]{28 — 23x — x^3} = 3 — x\)

Шаг 1: Возводим обе стороны в куб:

\[
28 — 23x — x^3 = 27 — 27x + 9x^2 — x^3
\]

Шаг 2: Переносим все на одну сторону:

\[
9x^2 — 4x — 1 = 0
\]

Шаг 3: Находим дискриминант:

\[
D = 4^2 + 4 \cdot 9 = 16 + 36 = 52
\]

Шаг 4: Находим корни уравнения:

\[
x = \frac{4 \pm \sqrt{52}}{2 \cdot 9} = \frac{4 \pm 2\sqrt{13}}{2 \cdot 9} = \frac{2 \pm \sqrt{13}}{9}
\]

Ответ: \(\frac{2 — \sqrt{13}}{9}; \frac{2 + \sqrt{13}}{9}\).

е) Решить уравнение:

\(\sqrt[4]{6x^2 — 4x + 1} = 1 — x\)

Шаг 1: Возводим обе стороны в четвёртую степень:

\[
6x^2 — 4x + 1 = (1 — x)^4
\]

Шаг 2: Раскрываем четвертую степень справа:

\[
6x^2 — 4x + 1 = x^4 — 4x^3 + 6x^2 — 4x + 1
\]

Шаг 3: Переносим все на одну сторону:

\[
x^4 — 4x^3 = 0
\]

Шаг 4: Разделим на \( x^3 \), получаем:

\[
x^3(x — 4) = 0
\]

Шаг 5: Находим корни:

\[
x_1 = 0, \quad x_2 = 4
\]

Шаг 6: Проверяем область определения. Для \( \sqrt[4]{6x^2 — 4x + 1} \) необходимо, чтобы выражение под корнем было неотрицательным. Также для \( 1 — x \geq 0 \), что даёт \( x \leq 1 \).

Ответ: \(x = 0\).