ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 957 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:
\[
\begin{cases}
x^2 + xy + y^2 = 21, \\
x + \sqrt{xy} + y = 7.
\end{cases}
\]

Решить систему уравнений:
\[
\begin{cases}
x^2 + xy + y^2 = 21 \\
x + \sqrt{xy} + y = 7
\end{cases}
\]

1) Первое уравнение:
\[
x^2 + 2xy + y^2 = 21 + xy;
\]

\[
xy = (x + y)^2 — 21;
\]

2) Второе уравнение:
\[
x + \sqrt{(x + y)^2 — 21} + y = 7;
\]

\[
7 — (x + y) = \sqrt{(x + y)^2 — 21};
\]

\[
(x + y)^2 — 14(x + y) + 49 = (x + y)^2 — 21;
\]

\[
14(x + y) = 70, \quad x + y = 5, \quad y = 5 — x;
\]

3) Первое уравнение:
\[
x(5 — x) = 5^2 — 21;
\]

\[
5x — x^2 = 25 — 21;
\]

\[
x^2 — 5x + 4 = 0;
\]

\[
D = 5^2 — 4 \cdot 4 = 25 — 16 = 9, \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{5 — 3}{2} = 1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4;
\]

\[
y_1 = 5 — 1 = 4 \quad \text{и} \quad y_2 = 5 — 4 = 1;
\]

Ответ:
\[
(1; 4); (4; 1).
\]

Решить систему уравнений:

\[
\begin{cases}
x^2 + xy + y^2 = 21 \\
x + \sqrt{xy} + y = 7
\end{cases}
\]

Шаг 1: Преобразуем первое уравнение:

\[
x^2 + xy + y^2 = 21.
\]

Добавим \( 2xy \) к обеим частям уравнения:

\[
x^2 + 2xy + y^2 = 21 + xy.
\]

Теперь, видим, что выражение с \( x^2 + 2xy + y^2 \) является полным квадратом:

\[
xy = (x + y)^2 — 21.
\]

Шаг 2: Используем второе уравнение:

\[
x + \sqrt{xy} + y = 7.
\]

Подставим \( xy = (x + y)^2 — 21 \) в это уравнение:

\[
x + \sqrt{(x + y)^2 — 21} + y = 7.
\]

Теперь выразим \( \sqrt{(x + y)^2 — 21} \) отдельно:

\[
7 — (x + y) = \sqrt{(x + y)^2 — 21}.
\]

Теперь возведем обе стороны в квадрат:

\[
(7 — (x + y))^2 = (x + y)^2 — 21.
\]

Раскроем квадрат слева:

\[
(7 — (x + y))^2 = (x + y)^2 — 14(x + y) + 49.
\]

Получаем уравнение:

\[
(x + y)^2 — 14(x + y) + 49 = (x + y)^2 — 21.
\]

Упростим это уравнение, убрав одинаковые выражения с обеих сторон:

\[
-14(x + y) + 49 = -21.
\]

Решаем это уравнение относительно \( x + y \):

\[
-14(x + y) = -70, \quad x + y = 5.
\]

Из этого следует, что \( y = 5 — x \).

Шаг 3: Подставляем \( y = 5 — x \) в первое уравнение:

\[
x(5 — x) = 5^2 — 21.
\]

Упростим выражение:

\[
5x — x^2 = 25 — 21.
\]

Получаем квадратное уравнение:

\[
x^2 — 5x + 4 = 0.
\]

Найдем дискриминант:

\[
D = 5^2 — 4 \cdot 4 = 25 — 16 = 9.
\]

Решаем уравнение с использованием формулы корней квадратного уравнения:

\[
x_1 = \frac{5 — 3}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4.
\]

Соответствующие значения \( y \):

\[
y_1 = 5 — 1 = 4, \quad y_2 = 5 — 4 = 1.
\]

Ответ:

\[
(1, 4), (4, 1).
\]