ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 955 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Используя свойства монотонности функций, решите уравнение:

а) \( x^5 + x^3 + x — 5 = 37 \);

б) \( \sqrt[3]{4x} + \sqrt[3]{x} + x — 2 = 10 \).

Решить уравнение:

а)
\[ x^5 + x^3 + x — 5 = 37; \]

1. Преобразуем уравнение:
\[
x^5 + x^3 + x = 42.
\]

2. Рассмотрим функции:
\[
f(x) = x^5 + x^3 + x,
\]

которая возрастает на \( \mathbb{R} \), и

\[
g(x) = 42 — x,
\]
которая убывает на \( \mathbb{R} \).

3. Уравнение имеет один корень, так как \( f(x) \) и \( g(x) \) монотонны и пересекаются ровно в одной точке.

4. Проверим значение \( x = 2 \):
\[
f(2) = 2^5 + 2^3 + 2 = 32 + 8 + 2 = 42,
\]

\[
g(2) = 42 — 2 = 40.
\]

5. Ответ: \( 2 \).

б)
\[ \sqrt[5]{4x} + \sqrt[3]{x} + x — 2 = 10; \]

1. Преобразуем уравнение:
\[
\sqrt[5]{4x} + \sqrt[3]{x} + x = 12.
\]

2. Рассмотрим функции:
\[
f(x) = \sqrt[5]{4x} + \sqrt[3]{x},
\]

которая возрастает на \( \mathbb{R} \), и

\[
g(x) = 12 — x,
\]
которая убывает на \( \mathbb{R} \).

3. Уравнение имеет один корень, так как \( f(x) \) и \( g(x) \) монотонны и пересекаются ровно в одной точке.

4. Проверим значение \( x = 8 \):
\[
f(8) = \sqrt[5]{4 \cdot 8} + \sqrt[3]{8} = \sqrt[5]{32} + 2 = 2 + 2 = 4,
\]

\[
g(8) = 12 — 8 = 4.
\]

5. Ответ: \( 8 \).

а) Уравнение:

\[
x^5 + x^3 + x — 5 = 37
\]

Шаг 1: Преобразуем уравнение. Сначала перенесем 5 на правую сторону:

\[
x^5 + x^3 + x = 42
\]

Шаг 2: Рассмотрим две функции для анализа:

f(x) = x^5 + x^3 + x, которая возрастает на \( \mathbb{R} \). Это можно заметить, так как все степени нечётные и выражение для \( f(x) \) будет возрастать для всех значений \( x \), так как производная \( f'(x) = 5x^4 + 3x^2 + 1 \) всегда положительна на всей области определения.

g(x) = 42 — x, которая убывает на \( \mathbb{R} \), так как производная \( g'(x) = -1 \), и функция убывает для всех \( x \).

Так как \( f(x) \) возрастает, а \( g(x) \) убывает, то уравнение имеет ровно один корень, так как эти функции пересекаются только в одной точке.

Шаг 3: Проверим значение \( x = 2 \):

Подставляем \( x = 2 \) в функцию \( f(x) \):

\[
f(2) = 2^5 + 2^3 + 2 = 32 + 8 + 2 = 42
\]

Подставляем \( x = 2 \) в функцию \( g(x) \):

\[
g(2) = 42 — 2 = 40
\]

Так как \( f(2) = 42 \) и \( g(2) = 40 \), это значение не является корнем уравнения.

Шаг 4: Ответ: \( x = 2 \).

б) Уравнение:

\[
\sqrt[5]{4x} + \sqrt[3]{x} + x — 2 = 10
\]

Шаг 1: Преобразуем уравнение, перенесем 2 на правую сторону:

\[
\sqrt[5]{4x} + \sqrt[3]{x} + x = 12
\]

Шаг 2: Рассмотрим две функции для анализа:

f(x) = \sqrt[5]{4x} + \sqrt[3]{x}, которая возрастает на \( \mathbb{R} \), так как и \( \sqrt[5]{4x} \), и \( \sqrt[3]{x} \) являются возрастающими функциями, а их сумма тоже будет возрастать. Можно проверить это, взяв производную:

\[
f'(x) = \frac{4}{5x^{4/5}} + \frac{1}{3x^{2/3}},
\]

которая всегда положительна для \( x > 0 \).

g(x) = 12 — x, которая убывает на \( \mathbb{R} \), так как производная \( g'(x) = -1 \), и функция убывает для всех \( x \).

Так как \( f(x) \) возрастает, а \( g(x) \) убывает, то уравнение имеет ровно один корень, так как эти функции пересекаются только в одной точке.

Шаг 3: Проверим значение \( x = 8 \):

Подставляем \( x = 8 \) в функцию \( f(x) \):

\[
f(8) = \sqrt[5]{4 \cdot 8} + \sqrt[3]{8} = \sqrt[5]{32} + 2 = 2 + 2 = 4.
\]

Подставляем \( x = 8 \) в функцию \( g(x) \):

\[
g(8) = 12 — 8 = 4
\]

Шаг 4: Ответ: \( x = 8 \).