ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 954 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что выражение \( \sqrt{x + 2\sqrt{x-1}} + \sqrt{x — 2\sqrt{x-1}} \) равно \( 2\sqrt{x-1} \), если \( x > 2 \), и равно \( 2 \), если \( x \leq 2 \).

Доказать равенство:

\[
\sqrt{x + 2\sqrt{x-1}} + \sqrt{x — 2\sqrt{x-1}} =
\]

\[
= \sqrt{(x-1) + 2\sqrt{x-1} + 1} + \sqrt{(x-1) — 2\sqrt{x-1} + 1} =
\]

\[
= \sqrt{(\sqrt{x-1} + 1)^2} + \sqrt{(\sqrt{x-1} — 1)^2} =
\]

\[
= |\sqrt{x-1} + 1| + |\sqrt{x-1} — 1|;
\]

1) Если \( x > 2 \), тогда:
\[
|\sqrt{x-1} + 1| + |\sqrt{x-1} — 1| =
\]

\[
= \sqrt{x-1} + 1 + \sqrt{x-1} — 1 = 2\sqrt{x-1};
\]

2) Если \( x \leq 2 \), тогда:
\[
|\sqrt{x-1} + 1| + |\sqrt{x-1} — 1| =
\]

\[
= \sqrt{x-1} + 1 — (\sqrt{x-1} — 1) = 2;
\]

Что и требовалось доказать.

Доказать равенство:

\[
\sqrt{x + 2\sqrt{x-1}} + \sqrt{x — 2\sqrt{x-1}}
\]

Шаг 1: Преобразуем исходное выражение. Начнем с того, что внутри квадратных корней можно выделить \((x-1)\) и \(2\sqrt{x-1}\) как два полных квадрата. Упрощаем выражение:

\[
\sqrt{x + 2\sqrt{x-1}} + \sqrt{x — 2\sqrt{x-1}} =\]

\[\sqrt{(x-1) +2\sqrt{x-1} + 1} + \sqrt{(x-1) — 2\sqrt{x-1} + 1}
\]

Мы добавили и вычли 1 в каждой из частей, чтобы преобразовать их в квадратные выражения.

Шаг 2: Теперь видим, что каждое из выражений внутри квадратных корней представляет собой полное квадратное выражение. Раскрываем их:

\[
= \sqrt{(\sqrt{x-1} + 1)^2} + \sqrt{(\sqrt{x-1} — 1)^2}
\]

Теперь у нас есть выражения в виде квадратов, которые можно упростить с использованием свойства квадратного корня \(\sqrt{a^2} = |a|\), где \(a\) — любое выражение.

Шаг 3: Применим свойство квадратного корня, и получаем абсолютные значения:

\[
= |\sqrt{x-1} + 1| + |\sqrt{x-1} — 1|
\]

Это шаг, в котором мы заменили квадратные корни на абсолютные значения, потому что для любых выражений вида \(\sqrt{a^2}\) всегда получается \(|a|\).

Шаг 4: Теперь рассмотрим два возможных случая для \(x\), так как абсолютные значения могут быть выражены по-разному в зависимости от знака выражений внутри модулей:

1) Если \( x > 2 \), тогда:

При \( x > 2 \), \( \sqrt{x-1} \) будет положительным числом, и оба выражения внутри модулей тоже будут положительными. Поэтому можно избавиться от модулей:

\[
|\sqrt{x-1} + 1| + |\sqrt{x-1} — 1| = \sqrt{x-1} + 1 + \sqrt{x-1} — 1
\]

После упрощения получаем:

\[
= 2\sqrt{x-1}
\]

2) Если \( x \leq 2 \), тогда:

При \( x \leq 2 \), значение \(\sqrt{x-1}\) будет меньше или равно 1, и выражения внутри модулей могут быть как положительными, так и отрицательными. Таким образом, для второго выражения мы имеем:

\[
|\sqrt{x-1} + 1| + |\sqrt{x-1} — 1| = \sqrt{x-1} + 1 — (\sqrt{x-1} — 1)
\]

После упрощения выражения получаем:

\[
= 2
\]

Что и требовалось доказать.