ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 953 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что при любом натуральном \( n \) верно равенство:

\[
\left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)^n + \left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)^{n-1} — \left( \frac{1 — \sqrt{5}}{2} \right)^n — \left( \frac{1 — \sqrt{5}}{2} \right)^{n-1} =\]

\[\left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)^{n+1} — \left( \frac{1 — \sqrt{5}}{2} \right)^{n+1}.
\]

Доказать равенство:

\[
\left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)^n + \left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)^{n-1} — \left( \frac{1 — \sqrt{5}}{2} \right)^n — \left( \frac{1 — \sqrt{5}}{2} \right)^{n-1} =
\]

\[
= \left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)^{n-1} \cdot \left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} + 1 \right) — \left( \frac{1 — \sqrt{5}}{2} \right)^{n-1} \cdot \left( \frac{1 — \sqrt{5}}{2} + 1 \right) =
\]

\[
= \left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)^{n-1} \cdot \frac{3 + \sqrt{5}}{2} — \left( \frac{1 — \sqrt{5}}{2} \right)^{n-1} \cdot \frac{3 — \sqrt{5}}{2} =
\]

\[
= \left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)^{n-1} \cdot \frac{1 + 2\sqrt{5} + 5}{4} — \left( \frac{1 — \sqrt{5}}{2} \right)^{n-1} \cdot \frac{1 — 2\sqrt{5} + 5}{4} =
\]

\[
= \left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)^{n-1} \cdot \left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)^2 — \left( \frac{1 — \sqrt{5}}{2} \right)^{n-1} \cdot \left( \frac{1 — \sqrt{5}}{2} \right)^2 =
\]

\[
= \left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)^{n+1} — \left( \frac{1 — \sqrt{5}}{2} \right)^{n+1};
\]

Что и требовалось доказать.

Доказать равенство:

\[
\left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)^n + \left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)^{n-1} — \left( \frac{1 — \sqrt{5}}{2} \right)^n — \left( \frac{1 — \sqrt{5}}{2} \right)^{n-1}
\]

Шаг 1: Разделим выражение на две части. Первая часть будет содержать выражения с \(\left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)\), вторая — с \(\left( \frac{1 — \sqrt{5}}{2} \right)\):

\[
= \left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)^{n-1} \cdot \left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} + 1 \right) — \left( \frac{1 — \sqrt{5}}{2} \right)^{n-1} \cdot \left( \frac{1 — \sqrt{5}}{2} + 1 \right)
\]

Шаг 2: Упростим выражения \(\left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} + 1 \right)\) и \(\left( \frac{1 — \sqrt{5}}{2} + 1 \right)\). Начнем с первого:

\[
\frac{1 + \sqrt{5}}{2} + 1 = \frac{1 + \sqrt{5} + 2}{2} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}
\]

Теперь упростим второе выражение:

\[
\frac{1 — \sqrt{5}}{2} + 1 = \frac{1 — \sqrt{5} + 2}{2} = \frac{3 — \sqrt{5}}{2}
\]

Шаг 3: Подставим эти значения обратно в выражение:

\[
= \left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)^{n-1} \cdot \frac{3 + \sqrt{5}}{2} — \left( \frac{1 — \sqrt{5}}{2} \right)^{n-1} \cdot \frac{3 — \sqrt{5}}{2}
\]

Шаг 4: Теперь упростим числители. Начнем с выражения \(\left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)^{n-1} \cdot \frac{3 + \sqrt{5}}{2}\). Мы получаем:

\[
= \left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)^{n-1} \cdot \frac{1 + 2\sqrt{5} + 5}{4}
\]

Теперь упростим вторую часть:

\[
= \left( \frac{1 — \sqrt{5}}{2} \right)^{n-1} \cdot \frac{1 — 2\sqrt{5} + 5}{4}
\]

Шаг 5: Подставим эти упрощения в выражение:

\[
= \left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)^{n-1} \cdot \left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)^2 — \left( \frac{1 — \sqrt{5}}{2} \right)^{n-1} \cdot \left( \frac{1 — \sqrt{5}}{2} \right)^2
\]

Шаг 6: Упростим окончательное выражение. Мы получаем:

\[
= \left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)^{n+1} — \left( \frac{1 — \sqrt{5}}{2} \right)^{n+1}
\]

Что и требовалось доказать.