ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 952 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что при всех допустимых значениях переменной значение выражения не зависит от \( x \):

\[
\left( \frac{1 — \sqrt{x}}{\frac{1}{1 — \sqrt[4]{x^3}} — \sqrt{x}} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt[4]{x^{-1}} + \sqrt{x}}{1 + \sqrt[4]{x^{-1}}} — \sqrt{x}} \right)^5.
\]

Доказать, что значение выражения не зависит от значения переменной:

\[
\left( \frac{1 — \sqrt{x}}{\frac{1}{1 — \sqrt[4]{x^3}} — \sqrt{x}} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt[4]{x^{-1}} + \sqrt{x}}{1 + \sqrt[4]{x^{-1}}} — \sqrt{x}} \right)^5 =
\]

\[
= \left( \frac{(1 — \sqrt{x})(1 — \sqrt[4]{x})}{1 — \sqrt[4]{x^3} — \sqrt{x}(1 — \sqrt[4]{x})} \cdot \frac{1 + \sqrt[4]{x^{-1}}}{\sqrt[4]{x^{-1}} + \sqrt{x} — \sqrt{x}(1 + \sqrt[4]{x^{-1})}} \right)^5 =
\]

\[
= \left( \frac{(1 — \sqrt{x})(1 — \sqrt[4]{x})}{1 — \sqrt[4]{x^3} — \sqrt{x} + \sqrt[4]{x^3}} \cdot \frac{1 + \sqrt[4]{x^{-1}}}{\sqrt[4]{x^{-1}}(1 — \sqrt{x})} \right)^5 =
\]

\[
= \left( \frac{(1 — \sqrt{x}) \cdot \frac{1 + \sqrt[4]{x^{-1}}}{\sqrt[4]{x^{-1}}(1 — \sqrt{x})}}{\sqrt[4]{x^{-1}}(1 — \sqrt{x})} \right)^5 = \left( \frac{1 + \sqrt[4]{x^{-1}}}{\sqrt[4]{x^{-1}} + 1} \right)^5 = 1;
\]

Что и требовалось доказать.

952.

© reshak.ru

Доказать, что значение выражения не зависит от значения переменной:

Начнем с того, что рассматриваем следующее выражение:

\[
\left( \frac{1 — \sqrt{x}}{\frac{1}{1 — \sqrt[4]{x^3}} — \sqrt{x}} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt[4]{x^{-1}} + \sqrt{x}}{1 + \sqrt[4]{x^{-1}}} — \sqrt{x}} \right)^5
\]

Шаг 1: Начнем с упрощения числителя и знаменателя первой дроби. Мы видим, что в числителе есть выражение \( 1 — \sqrt{x} \), которое будет умножаться на дробь. Далее нужно упростить дробь во втором множителе.

Для этого сначала упростим выражение в знаменателе дроби:

\[
\frac{1}{1 — \sqrt[4]{x^3}} — \sqrt{x}.
\]

Мы видим, что для упрощения стоит объединить дробь с \(\sqrt{x}\). Следовательно, приводим их к общему знаменателю:

\[
\frac{1}{1 — \sqrt[4]{x^3}} — \sqrt{x} = \frac{1 — \sqrt{x}(1 — \sqrt[4]{x^3})}{1 — \sqrt[4]{x^3}}.
\]

Шаг 2: Подставим это в исходное выражение. У нас теперь следующая форма:

\[
\left( \frac{(1 — \sqrt{x})(1 — \sqrt[4]{x})}{1 — \sqrt[4]{x^3} — \sqrt{x}(1 — \sqrt[4]{x})} \cdot \frac{1 + \sqrt[4]{x^{-1}}}{\sqrt[4]{x^{-1}} + \sqrt{x} — \sqrt{x}(1 + \sqrt[4]{x^{-1}})} \right)^5.
\]

Шаг 3: Следующий шаг — упростим знаменатель дроби \(\frac{1 + \sqrt[4]{x^{-1}}}{\sqrt[4]{x^{-1}} + \sqrt{x} — \sqrt{x}(1 + \sqrt[4]{x^{-1}})}\). Умножим числитель и знаменатель на \( 1 + \sqrt[4]{x^{-1}} \) для упрощения выражения.

Шаг 4: После умножения числителя и знаменателя на \( 1 + \sqrt[4]{x^{-1}} \), мы получаем:

\[
= \frac{(1 — \sqrt{x})(1 — \sqrt[4]{x})}{1 — \sqrt[4]{x^3} — \sqrt{x} + \sqrt[4]{x^3}} \cdot \frac{1 + \sqrt[4]{x^{-1}}}{\sqrt[4]{x^{-1}}(1 — \sqrt{x})}.
\]

Шаг 5: Теперь рассмотрим более простое выражение:

\[
= \left( \frac{(1 — \sqrt{x}) \cdot \frac{1 + \sqrt[4]{x^{-1}}}{\sqrt[4]{x^{-1}}(1 — \sqrt{x})}}{\sqrt[4]{x^{-1}}(1 — \sqrt{x})} \right)^5.
\]

Шаг 6: Упростим выражение, сократив \( 1 — \sqrt{x} \) в числителе и знаменателе. Получаем:

\[
= \left( \frac{1 + \sqrt[4]{x^{-1}}}{\sqrt[4]{x^{-1}} + 1} \right)^5.
\]

Шаг 7: На последнем шаге видим, что полученная дробь равна \( 1 \), так как числитель и знаменатель совпадают:

\[
= 1.
\]

Что и требовалось доказать.