ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 951 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что при всех допустимых значениях переменных значение выражения не зависит от \( x \) и \( y \):

\[
\frac{(x^2 + y\sqrt{xy} + x\sqrt{xy} + y^2) \cdot (\sqrt{x} + \sqrt{y})^{-2} — \sqrt{xy}}{x — y} + \frac{2\sqrt{y}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}.
\]

Доказать, что значение выражения не зависит от значений чисел \( x \) и \( y \):

\[
\frac{(x^2 + y\sqrt{xy} + x\sqrt{xy} + y^2) \cdot (\sqrt{x} + \sqrt{y})^{-2} — \sqrt{xy}}{x — y} + \frac{2\sqrt{y}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} =
\]

\[
= \frac{x^2 + y\sqrt{xy} + x\sqrt{xy} + y^2 — \sqrt{xy}(\sqrt{x} + \sqrt{y})^2}{(x — y)(\sqrt{x} + \sqrt{y})^2} + \frac{2\sqrt{y}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} =
\]

\[
= \frac{x^2 + y^{\frac{3}{2}}x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}}y^{\frac{1}{2}} + y^2 — x^{\frac{3}{2}}y^{\frac{1}{2}} — y^{\frac{3}{2}}x^{\frac{1}{2}} — 2xy}{(x — y)(\sqrt{x} + \sqrt{y})^2} + \frac{2\sqrt{y}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} =
\]

\[
= \frac{x^2 — 2xy + y^2}{(x — y)(\sqrt{x} + \sqrt{y})^2} + \frac{2\sqrt{y}(\sqrt{x} + \sqrt{y})}{(\sqrt{x} + \sqrt{y})^2} = \frac{x — y}{(\sqrt{x} + \sqrt{y})^2} +\]

\[\frac{2\sqrt{y}(\sqrt{x} + \sqrt{y})}{(\sqrt{x} + \sqrt{y})^2} =
\]

\[
= \frac{x — y + 2\sqrt{xy} + 2y}{(\sqrt{x} + \sqrt{y})^2} = \frac{x + 2\sqrt{xy} + y}{(\sqrt{x} + \sqrt{y})^2} = \frac{(\sqrt{x} + \sqrt{y})^2}{(\sqrt{x} + \sqrt{y})^2} = 1;
\]

Что и требовалось доказать.

Доказать, что значение выражения не зависит от значений чисел \( x \) и \( y \):

\[
\frac{(x^2 + y\sqrt{xy} + x\sqrt{xy} + y^2) \cdot (\sqrt{x} + \sqrt{y})^{-2} — \sqrt{xy}}{x — y} + \frac{2\sqrt{y}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} =
\]

Шаг 1: Начнем с упрощения первого выражения. Раскроем числитель:

\[
= \frac{x^2 + y\sqrt{xy} + x\sqrt{xy} + y^2 — \sqrt{xy}(\sqrt{x} + \sqrt{y})^2}{(x — y)(\sqrt{x} + \sqrt{y})^2} + \frac{2\sqrt{y}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}.
\]

Шаг 2: Раскроем выражение \(\sqrt{xy}(\sqrt{x} + \sqrt{y})^2\) в числителе:

\[
= \frac{x^2 + y\sqrt{xy} + x\sqrt{xy} + y^2 — x^{\frac{3}{2}}y^{\frac{1}{2}} — y^{\frac{3}{2}}x^{\frac{1}{2}} — 2xy}{(x — y)(\sqrt{x} + \sqrt{y})^2} + \frac{2\sqrt{y}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}.
\]

Шаг 3: Упростим числитель, исключая общие множители \( x^{\frac{3}{2}}y^{\frac{1}{2}} \) и \( y^{\frac{3}{2}}x^{\frac{1}{2}} \):

\[
= \frac{x^2 — 2xy + y^2}{(x — y)(\sqrt{x} + \sqrt{y})^2} + \frac{2\sqrt{y}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}.
\]

Шаг 4: Разделим числитель и знаменатель на \((x — y)\), получим:

\[
= \frac{x — y}{(\sqrt{x} + \sqrt{y})^2} + \frac{2\sqrt{y}(\sqrt{x} + \sqrt{y})}{(\sqrt{x} + \sqrt{y})^2}.
\]

Шаг 5: Объединяем дроби и упрощаем их:

\[
= \frac{x + 2\sqrt{xy} + y}{(\sqrt{x} + \sqrt{y})^2}.
\]

Шаг 6: Замечаем, что числитель и знаменатель совпадают по форме:

\[
= \frac{(\sqrt{x} + \sqrt{y})^2}{(\sqrt{x} + \sqrt{y})^2} = 1.
\]

Что и требовалось доказать.