ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 950 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Упростите выражение:

а)
\[
\left( \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{b^2}}{\frac{a^2}{3} + b^2} \right)^{-1} — \left( \frac{\frac{1}{2} — b^{\frac{1}{2}}}{\frac{a^2}{3} + b^2} \right)^2 \cdot (\sqrt{b})^{-1};
\]

б)
\[
\left( \frac{2 + x^{\frac{1}{4}} — 2x^{\frac{1}{4}}}{2 + x^{\frac{1}{4}}} \right) \cdot 4\sqrt[4]{x^3};
\]

в)
\[
\left( \frac{\frac{x^2}{3} — a}{x^2 — a^3} + a^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{2}} \right) \cdot \left( x + a^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{2}} \right)^{-1} — a^{\frac{1}{3}} x^{-\frac{1}{2}};
\]

г)
\[
\left( \frac{a^{0.5} + b^{0.5}}{(a+b)^{0.5}} — \frac{(a+b)^{0.5}}{a^{0.5} + b^{0.5}} \right)^{-2} — \frac{a+b}{2\sqrt{ab}}.
\]

Упростить выражение:

а)
\[
\left(\frac{1}{a^2 + b^2}\right)^{-1} — \left(a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}}\right)^2 \cdot (\sqrt{b})^{-1} =
\]

\[
= \frac{1}{a^2 + b^2} \cdot \left(a — a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b\right) — \left(a — 2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b\right) \cdot \frac{1}{b^{\frac{1}{2}}} =
\]

\[
= (a — a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b — a + 2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} — b) \cdot \frac{1}{b^{\frac{1}{2}}} = a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a};
\]

б)
\[
\left(\frac{2 + x^4}{2 — x^4}\right) \cdot \frac{2 — x^4}{2 + x^4} \cdot \frac{4 — \sqrt{x}}{\sqrt[4]{x^3}} =
\]

\[
= \frac{4 + 4x^4 + x^2}{2 + x^4} — \frac{4 — 4x^4 + x^2}{4 — x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{3}{x^4} =
\]

\[
= \frac{8x^4}{4 — x^2} = \frac{8x^4}{4 — \sqrt{x}} = \frac{8}{\sqrt{x}};
\]

в)
\[
\frac{x^3}{x^2 — a} + \frac{1}{x^2 + a^3} \cdot \left(x + a^3x^2\right)^{-1} — a^3x^{-\frac{1}{2}} =
\]

\[
= \frac{x^3}{x^2 — a} + \left(a^3x — a^3x^2\right) \cdot \frac{1}{x^2 + a^3} — \frac{a^3}{x^{\frac{1}{2}}} =
\]

\[
= x \cdot \frac{x^2 + a^3 — a^3x}{x^2 — a^3} — \frac{a^3}{x^{\frac{1}{2}}} =
\]

\[
= \frac{x(x^2 — a^3) — a^3}{x^2(x^2 — a^3)} = 1;
\]

г)
\[
\frac{a^{0,5} + b^{0,5}}{(a + b)^{0,5}} \cdot \frac{(a + b)^{0,5}}{a^{0,5} + b^{0,5}} — \frac{a + b}{2\sqrt{ab}} =
\]

\[
= \frac{(a + 2a^{0,5}b^{0,5} + b) — (a + b)}{2\sqrt{ab}} =
\]

\[
= \frac{(a + b)(a^{0,5} + b^{0,5})^2}{4ab} — \frac{2\sqrt{ab}(a + b)}{4ab} =
\]

\[
= \frac{(a + b)^2}{4ab}.
\]

а) Упростим выражение:

\(\left(\frac{1}{a^2 + b^2}\right)^{-1} — \left(a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}}\right)^2 \cdot (\sqrt{b})^{-1}\) =

Шаг 1: Начнем с упрощения первого члена. Используем правило степени: \(\left(\frac{1}{a^2 + b^2}\right)^{-1} = a^2 + b^2\).

Получаем: \(a^2 + b^2 — \left(a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}}\right)^2 \cdot (\sqrt{b})^{-1}\).

Шаг 2: Упростим второй член. Раскроем скобки в выражении \(\left(a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}}\right)^2\):

\(\left(a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}}\right)^2 = a — 2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b\).

Теперь у нас выражение: \(a^2 + b^2 — \left(a — 2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b\right) \cdot \frac{1}{b^{\frac{1}{2}}}\).

Шаг 3: Упростим произведение \(\left(a — 2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b\right) \cdot \frac{1}{b^{\frac{1}{2}}}\):

\(= a \cdot \frac{1}{b^{\frac{1}{2}}} — 2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{b^{\frac{1}{2}}} + b \cdot \frac{1}{b^{\frac{1}{2}}}\).

Сократим дроби:

= \( a^{\frac{1}{2}} — 2a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}\).

Шаг 4: Объединяем все выражения:

= \( a^2 + b^2 — a^{\frac{1}{2}} + 2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{b^{\frac{1}{2}}} \) = \( a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}.\)

б) Упростим выражение:

\(\left(\frac{2 + x^4}{2 — x^4}\right) \cdot \frac{2 — x^4}{2 + x^4} \cdot \frac{4 — \sqrt{x}}{\sqrt[4]{x^3}}\) =

Шаг 1: Упростим произведение первых двух дробей. Мы видим, что \(\frac{2 — x^4}{2 + x^4} \cdot \frac{2 + x^4}{2 — x^4} = 1\), так что остается:

\( \frac{4 — \sqrt{x}}{\sqrt[4]{x^3}}.\)

Шаг 2: Теперь упростим оставшееся выражение:

\( = \frac{4 + 4x^4 + x^2}{2 + x^4} — \frac{4 — 4x^4 + x^2}{4 — x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{3}{x^4}.\)

Шаг 3: Упростим дробь с числителем \(4x^4\) и знаменателем \(4 — x^2\). Получаем:

\( = \frac{8x^4}{4 — x^2} = \frac{8x^4}{4 — \sqrt{x}} = \frac{8}{\sqrt{x}}.\)

в) Упростим выражение:

\(\frac{x^3}{x^2 — a} + \frac{1}{x^2 + a^3} \cdot \left(x + a^3x^2\right)^{-1} — a^3x^{-\frac{1}{2}} =\)

Шаг 1: Разделим числитель на \(x^2 — a\) и упростим дробь с \(\left(x + a^3x^2\right)^{-1}\):

\( = \frac{x^3}{x^2 — a} + \left(a^3x — a^3x^2\right) \cdot \frac{1}{x^2 + a^3} — \frac{a^3}{x^{\frac{1}{2}}}.\)

Шаг 2: Упростим выражение, объединив дроби:

\( = x \cdot \frac{x^2 + a^3 — a^3x}{x^2 — a^3} — \frac{a^3}{x^{\frac{1}{2}}}.\)

Шаг 3: Получаем:

\( = \frac{x(x^2 — a^3) — a^3}{x^2(x^2 — a^3)} = 1.\)

г) Упростим выражение:

\(\frac{a^{0,5} + b^{0,5}}{(a + b)^{0,5}} \cdot \frac{(a + b)^{0,5}}{a^{0,5} + b^{0,5}} — \frac{a + b}{2\sqrt{ab}} =\)

Шаг 1: Упростим произведение дробей:

\( = \frac{(a + 2a^{0,5}b^{0,5} + b) — (a + b)}{2\sqrt{ab}}.\)

Шаг 2: Получаем:

\( = \frac{(a + b)(a^{0,5} + b^{0,5})^2}{4ab} — \frac{2\sqrt{ab}(a + b)}{4ab}.\)

Шаг 3: Упрощаем итоговое выражение:

\( = \frac{(a + b)^2}{4ab}.\)

а) \( \left(\frac{1}{a^2 + b^2}\right)^{-1} — \left(a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}}\right)^2 \cdot (\sqrt{b})^{-1} \)

1. Рассмотрим первую часть выражения: \( \left(\frac{1}{a^2 + b^2}\right)^{-1} \). Инвертируем дробь, получаем:

\[
= a^2 + b^2
\]

2. Теперь разберём вторую часть выражения: \( \left(a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}}\right)^2 \cdot (\sqrt{b})^{-1} \). Раскроем квадрат разности и упростим:

\[
= (a — 2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b) \cdot \frac{1}{b^{\frac{1}{2}}}
\]

3. Подставим результаты в исходное выражение:

\[
= \left( a^2 + b^2 \right) — \left( a — 2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b \right) \cdot \frac{1}{b^{\frac{1}{2}}}
\]

4. Упростим числитель:

\[
= (a — a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b — a + 2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} — b) \cdot \frac{1}{b^{\frac{1}{2}}} = a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}
\]

Ответ: \( \sqrt{a} \).

б) \( \left(\frac{2 + x^4}{2 — x^4}\right) \cdot \frac{2 — x^4}{2 + x^4} \cdot \frac{4 — \sqrt{x}}{\sqrt[4]{x^3}} \)

1. Рассмотрим первый множитель \( \frac{2 + x^4}{2 — x^4} \) и второй множитель \( \frac{2 — x^4}{2 + x^4} \). Эти дроби можно сократить:

\[
= \frac{(4 + 4x^4 + x^2) — (4 — 4x^4 + x^2)}{(2 + x^4)} \cdot \frac{4 — x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{3}{4}}}
\]

2. Упростим дробь в числителе и знаменателе:

\[
= \frac{8x^4}{4 — x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{4 — x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{3}{4}}}
\]

3. Получаем окончательное упрощение:

\[
= \frac{8x^{\frac{1}{4}}}{x^{\frac{3}{4}}} = \frac{8}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{8}{\sqrt{x}}
\]

Ответ: \( \frac{8}{\sqrt{x}} \).

в) \( \frac{x^3}{x^2 — a} + \frac{1}{x^2 + a^3} \cdot \left(x + a^3x^2\right)^{-1} — a^3x^{-\frac{1}{2}} \)

1. Рассмотрим первый член \( \frac{x^3}{x^2 — a} \). Это простая дробь, которую оставим без изменений.

2. Для второго члена \( \frac{1}{x^2 + a^3} \cdot \left(x + a^3x^2\right)^{-1} \) подставим выражение для \( \left(x + a^3x^2\right)^{-1} \) и упростим его:

\[
= \frac{x^3}{x^2 — a} + \left( a^3x — a^3x^2 \right) \cdot \frac{1}{x^2 + a^3}
\]

3. Далее упрощаем числитель и знаменатель и получаем:

\[
= x \cdot \frac{x^2 + a^3 — a^3x}{x^2 — a^3}
\]

4. После упрощения получается:

\[
= \frac{x(x^2 — a^3) — a^3}{x^2(x^2 — a^3)} = 1
\]

Ответ: \( 1 \).

г) \( \frac{a^{0.5} + b^{0.5}}{(a + b)^{0.5}} \cdot \frac{(a + b)^{0.5}}{a^{0.5} + b^{0.5}} — \frac{a + b}{2\sqrt{ab}} \)

1. Начнём с упрощения выражений внутри дробей. Видим, что дроби сокращаются, и остаётся:

\[
= \frac{(a + 2a^{0.5}b^{0.5} + b) — (a + b)}{2a^{0.5}b^{0.5}}
\]

2. Упростим числитель:

\[
= \frac{(a + b)(a^{0.5} + b^{0.5})^2}{4ab} — \frac{2\sqrt{ab}(a + b)}{4ab}
\]

3. Получаем итоговое упрощение:

\[
= \frac{(a + b)^2}{4ab}
\]

Ответ: \( \frac{(a+b)^2}{4ab} \).