ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 948 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Упростите выражение:

а)
\[
\frac{a^{1.5} + 2a + 4a^{0.75}}{a^{0.5} — 2a^{0.25} + 4} + \frac{8}{a^{0.5} — 2a^{0.25} + 4};
\]

б)
\[
\frac{b^{0.5} — 10b^{0.25} + 21}{c^{0.5} + 11c^{0.25} + 30} : \left( \frac{c^{0.5} — 36}{b^{0.5} — 49} \right)^{-1};
\]

в)
\[
\left( \frac{2x — 16x^{0.5} + 32}{x^{0.5}} \right)^{-1} : \left( \frac{x^{0.5}}{2x^{0.5} — 8} + \frac{8}{x + 4x^{0.5}} — \frac{x + 16}{2x — 32} \right);
\]

г)
\[
\frac{4y^2}{(1 — 4y^2)^2} \cdot \left( \frac{1 — \sqrt{\frac{1}{1 — 4y^2}}}{1 +\]

\[\sqrt{\frac{1}{1 — 4y^2}}} — \frac{1 + \sqrt{\frac{1}{1 — 4y^2}}}{1 — \sqrt{\frac{1}{1 — 4y^2}}} \right).
\]

Упростить выражение:

а)
\[
\frac{a^{1.5} + 2a + 4a^{0.75}}{a^{0.5} — 2a^{0.25} + 4} + \frac{8}{a^{0.5} — 2a^{0.25} + 4} =
\]

\[
= \frac{a^{0.75}(a^{0.5} + 2a^{0.25} + 4)(a^{0.5} — 2a^{0.25} + 4) + 8(a + 4a^{0.5} + 16)}{(a + 4a^{0.5} + 16)(a^{0.5} — 2a^{0.25} + 4)} =
\]

\[
= \frac{a^{0.75}(a + 8a^{0.5} + 16 — 4a^{0.5}) + 8(a + 4a^{0.5} + 16)}{(a + 4a^{0.5} + 16)(a^{0.5} — 2a^{0.25} + 4)} =
\]
\[
= \frac{(a^{0.75} + 8)(a + 4a^{0.5} + 16)}{(a + 4a^{0.5} + 16)(a^{0.5} — 2a^{0.25} + 4)} =
\]

\[
= \frac{(a^{0.25} + 2)(a^{0.5} — 2a^{0.25} + 4)}{(a^{0.5} — 2a^{0.25} + 4)} = a^{\frac{1}{4}} + 2;
\]

б)
\[
\frac{b^{0.5} — 10b^{0.25} + 21}{c^{0.5} + 11c^{0.25} + 30} : \left( \frac{c^{0.5} — 36}{b^{0.5} — 49} \right)^{-1} =
\]

\[
= \frac{(b^{0.25} — 3)(b^{0.25} — 7)}{(c^{0.25} + 6)(c^{0.25} + 5)} \cdot \frac{(c^{0.25} + 6)(c^{0.25} — 6)}{(b^{0.25} + 7)(b^{0.25} — 7)} =
\]

\[
= \frac{(b^{0.25} — 3)(c^{0.25} — 6)}{(c^{0.25} + 5)(b^{0.25} + 7)} = \frac{\left( b^{\frac{1}{4}} — 3 \right)\left( c^{\frac{1}{4}} — 6 \right)}{\left( c^{\frac{1}{4}} + 5 \right)\left( b^{\frac{1}{4}} + 7 \right)};
\]

в)
\[
\left( \frac{2x — 16x^{0.5} + 32}{x^{0.5}} \right)^{-1} : \left( \frac{x^{0.5}}{2x^{0.5} — 8} + \frac{8}{x + 4x^{0.5}} — \frac{x + 16}{2x — 32} \right) =
\]

\[
= \frac{x^{0.5}}{2(x — 8x^{0.5} + 16)} : \left( \frac{x^{0.5}}{2(x^{0.5} — 4)} + \frac{8}{x^{0.5}(x^{0.5} + 4)} — \frac{x + 16}{2(x — 16)} \right) =
\]

\[
= \frac{x^{0.5}}{2(x^{0.5} — 4)^2} \cdot \frac{2x^{0.5}(x^{0.5} — 4)(x^{0.5} + 4)}{x(x^{0.5} + 4) + 16(x^{0.5} — 4) — x^{0.5}(x + 16)} =
\]

\[
= \frac{x(x — 16)}{(x^{0.5} — 4)^2 \cdot (x^{1.5} + 4x + 16x^{0.5} — 64 — x^{1.5} — 16x^{0.5})} =
\]

\[
= \frac{x(x — 16)}{(x^{0.5} — 4) \cdot 4(x — 16)} = \frac{x}{4(\sqrt{x} — 4)^2};
\]

г)
\[
\frac{4y^2}{(1 — 4y^2)^{\frac{1}{2}}} \cdot \left( \frac{1 — \sqrt{1 — 4y^2}}{1 + \sqrt{1 — 4y^2}} — \frac{1 + \sqrt{1 — 4y^2}}{1 — \sqrt{1 — 4y^2}} \right) =
\]

\[
= \frac{4y^{\frac{1}{2}}}{(1 — 4y^2)^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1 — 2\sqrt{1 — 4y^2} + (1 — 4y^2) — 1 — 2\sqrt{1 — 4y^2} — (1 — 4y^2)}{(1 — \sqrt{1 — 4y^2})(1 + \sqrt{1 — 4y^2})} =
\]

\[
= \frac{4y^{\frac{1}{2}}}{(1 — 4y^2)^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{-4\sqrt{1 — 4y^2}}{(1 — 4y^2)} = \frac{(1 — 4y^2)^{\frac{1}{2}}}{(1 — 4y^2)^{\frac{1}{2}}} = -4;
\]

а) \( \frac{a^{1.5} + 2a + 4a^{0.75}}{a^{0.5} — 2a^{0.25} + 4} + \frac{8}{a^{0.5} — 2a^{0.25} + 4} \)

1. Начнём с упрощения числителя и знаменателя. В числителе можно выделить общий множитель \( a^{0.75} \), а в знаменателе \( a^{0.25} \):

\[
= \frac{a^{0.75}(a^{0.5} + 2a^{0.25} + 4)(a^{0.5} — 2a^{0.25} + 4) + 8(a + 4a^{0.5} + 16)}{(a + 4a^{0.5} + 16)(a^{0.5} — 2a^{0.25} + 4)}
\]

2. Раскроем числитель и упростим его:

\[
= \frac{a^{0.75}(a + 8a^{0.5} + 16 — 4a^{0.5}) + 8(a + 4a^{0.5} + 16)}{(a + 4a^{0.5} + 16)(a^{0.5} — 2a^{0.25} + 4)}
\]

3. После дальнейшего упрощения числителя получаем:

\[
= \frac{(a^{0.75} + 8)(a + 4a^{0.5} + 16)}{(a + 4a^{0.5} + 16)(a^{0.5} — 2a^{0.25} + 4)}
\]

4. Сокращаем одинаковые множители в числителе и знаменателе:

\[
= \frac{(a^{0.25} + 2)(a^{0.5} — 2a^{0.25} + 4)}{(a^{0.5} — 2a^{0.25} + 4)} = a^{\frac{1}{4}} + 2
\]

Ответ: \( a^{\frac{1}{4}} + 2 \).

б) \( \frac{b^{0.5} — 10b^{0.25} + 21}{c^{0.5} + 11c^{0.25} + 30} : \left( \frac{c^{0.5} — 36}{b^{0.5} — 49} \right)^{-1} \)

1. Для начала инвертируем второй множитель:

\[
= \frac{(b^{0.25} — 3)(b^{0.25} — 7)}{(c^{0.25} + 6)(c^{0.25} + 5)} \cdot \frac{(c^{0.25} + 6)(c^{0.25} — 6)}{(b^{0.25} + 7)(b^{0.25} — 7)}
\]

2. Упростим дроби, выделив общие множители и вычисляя их:

\[
= \frac{(b^{0.25} — 3)(c^{0.25} — 6)}{(c^{0.25} + 5)(b^{0.25} + 7)} = \frac{\left( b^{\frac{1}{4}} — 3 \right)\left( c^{\frac{1}{4}} — 6 \right)}{\left( c^{\frac{1}{4}} + 5 \right)\left( b^{\frac{1}{4}} + 7 \right)}
\]

Ответ: \( \frac{\left( b^{\frac{1}{4}} — 3 \right)\left( c^{\frac{1}{4}} — 6 \right)}{\left( c^{\frac{1}{4}} + 5 \right)\left( b^{\frac{1}{4}} + 7 \right)} \).

в) \( \left( \frac{2x — 16x^{0.5} + 32}{x^{0.5}} \right)^{-1} : \left( \frac{x^{0.5}}{2x^{0.5} — 8} + \frac{8}{x + 4x^{0.5}} — \frac{x + 16}{2x — 32} \right) \)

1. Начнём с упрощения первого множителя. Мы видим, что \( \left( \frac{2x — 16x^{0.5} + 32}{x^{0.5}} \right)^{-1} \) можно записать как:

\[
= \frac{x^{0.5}}{2(x — 8x^{0.5} + 16)}
\]

2. Теперь рассмотрим второй множитель:

\[
\left( \frac{x^{0.5}}{2(x^{0.5} — 4)} + \frac{8}{x^{0.5}(x^{0.5} + 4)} — \frac{x + 16}{2(x — 16)} \right)
\]

3. После упрощения дробей и выражений внутри скобок, получаем:

\[
= \frac{x^{0.5}}{2(x^{0.5} — 4)^2} \cdot \frac{2x^{0.5}(x^{0.5} — 4)(x^{0.5} + 4)}{x(x^{0.5} + 4) + 16(x^{0.5} — 4) — x^{0.5}(x + 16)}
\]

4. После дальнейших вычислений и упрощений получаем:

\[
= \frac{x(x — 16)}{(x^{0.5} — 4)^2 \cdot (x^{1.5} + 4x + 16x^{0.5} — 64 — x^{1.5} — 16x^{0.5})}
\]

5. Упростив выражение в знаменателе:

\[
= \frac{x(x — 16)}{(x^{0.5} — 4) \cdot 4(x — 16)} = \frac{x}{4(\sqrt{x} — 4)^2}
\]

Ответ: \( \frac{x}{4(\sqrt{x} — 4)^2} \).

г) \( \frac{4y^2}{(1 — 4y^2)^{\frac{1}{2}}} \cdot \left( \frac{1 — \sqrt{1 — 4y^2}}{1 + \sqrt{1 — 4y^2}} — \frac{1 + \sqrt{1 — 4y^2}}{1 — \sqrt{1 — 4y^2}} \right) \)

1. Начнём с упрощения выражений в скобках, используя алгебраические операции:

\[
\frac{4y^{\frac{1}{2}}}{(1 — 4y^2)^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1 — 2\sqrt{1 — 4y^2} + (1 — 4y^2) — 1 -2\sqrt{1 — 4y^2} — (1 — 4y^2)}{(1 — \sqrt{1 — 4y^2})(1 + \sqrt{1 — 4y^2})}
\]

2. Упростим числитель и знаменатель:

\[
= \frac{4y^{\frac{1}{2}}}{(1 — 4y^2)^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{-4\sqrt{1 — 4y^2}}{(1 — 4y^2)} =\]

\[\frac{(1 — 4y^2)^{\frac{1}{2}}}{(1 — 4y^2)^{\frac{1}{2}}} = -4
\]

Ответ: \( -4 \).