ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 947 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Зная, что \( n \) — натуральное число, большее 1, упростите выражение:

а) \( \sqrt[3]{125^n — 61 \cdot 125^{n-1}} \);

б) \( \sqrt[3]{81^{n+1} — 65 \cdot 81^n} \).

Упростить выражение:

а)
\[
\sqrt[3]{125^n — 61 \cdot 125^{n-1}} = \sqrt[3]{5^{3n} — 61 \cdot \frac{5^{3n}}{125}} =
\]

\[
= 5^n \cdot \sqrt[3]{1 — \frac{61}{125}} = 5^n \cdot \sqrt[3]{\frac{64}{125}} = 5^n \cdot \frac{4}{5} = 4 \cdot 5^{n-1};
\]

Ответ: \( 4 \cdot 5^{n-1} \).

б)
\[
\sqrt[4]{81^{n+1} — 65 \cdot 81^n} = \sqrt[4]{3^{4n} \cdot 81 — 65 \cdot 3^{4n}} =
\]

\[
= 3^n \cdot \sqrt[4]{81 — 65} = 3^n \cdot \sqrt[4]{16} = 3^n \cdot 2 = 2 \cdot 3^n;
\]
Ответ: \( 2 \cdot 3^n \).

а) \( \sqrt[3]{125^n — 61 \cdot 125^{n-1}} \)

1. Начнем с подстановки выражений, представленных в степени 5. Мы знаем, что \( 125 = 5^3 \), так что перепишем выражение с этим основанием:

\[
\sqrt[3]{125^n — 61 \cdot 125^{n-1}} = \sqrt[3]{5^{3n} — 61 \cdot \frac{5^{3n}}{125}}
\]

2. Давайте выделим общий множитель \( 5^{3n} \) в числителе, чтобы упростить выражение:

\[
= \sqrt[3]{5^{3n} \left( 1 — \frac{61}{125} \right)}
\]

3. Теперь упростим выражение внутри кубического корня. Вычитаем дроби в скобках:

\[
1 — \frac{61}{125} = \frac{125}{125} — \frac{61}{125} = \frac{64}{125}
\]

4. Подставляем результат в исходное выражение:

\[
= 5^n \cdot \sqrt[3]{\frac{64}{125}}
\]

5. Теперь извлечем кубический корень из дроби. Мы знаем, что \( \sqrt[3]{\frac{64}{125}} = \frac{4}{5} \), так как \( 64 = 4^3 \) и \( 125 = 5^3 \):

\[
= 5^n \cdot \frac{4}{5}
\]

6. Упростим полученное выражение:

\[
= 4 \cdot 5^{n-1}
\]

Ответ: \( 4 \cdot 5^{n-1} \).

б) \( \sqrt[4]{81^{n+1} — 65 \cdot 81^n} \)

1. Начнем с подстановки выражений, представленных в степени 3. Мы знаем, что \( 81 = 3^4 \), так что перепишем выражение с этим основанием:

\[
\sqrt[4]{81^{n+1} — 65 \cdot 81^n} = \sqrt[4]{3^{4(n+1)} — 65 \cdot 3^{4n}}
\]

2. Теперь вынесем общий множитель \( 3^{4n} \) за скобки:

\[
= \sqrt[4]{3^{4n} \left( 3^4 — 65 \right)}
\]

3. Упростим выражение внутри четвертого корня. Вычислим \( 3^4 = 81 \), поэтому выражение становится:

\[
= \sqrt[4]{3^{4n} \cdot (81 — 65)} = \sqrt[4]{3^{4n} \cdot 16}
\]

4. Теперь извлечем четвертый корень из произведения:

\[
= 3^n \cdot \sqrt[4]{16}
\]

5. Мы знаем, что \( \sqrt[4]{16} = 2 \), так как \( 16 = 2^4 \):

\[
= 3^n \cdot 2
\]

Ответ: \( 2 \cdot 3^n \).