ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 946 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Упростите выражение
\[
\left( x^{\frac{1}{m}} + x^{\frac{1}{n}} \right)^2 — 4a^2 x^{\frac{1}{m} + \frac{1}{n}},
\]
если \( x = \left( a + \sqrt{a^2 — 1} \right)^{m-n} \), где \( m \) и \( n \) — натуральные числа, причём \( m \neq n \).

Упростить выражение:
\[ x = \left( a + \sqrt{a^2 — 1} \right)^{\frac{2m}{m-n}}; \]

\[
\left( x^{\frac{1}{m}} + x^{\frac{1}{n}} \right)^2 — 4a^2 x^{\frac{m+n}{mn}} = \left( x^{\frac{1}{m}} + x^{\frac{1}{n}} \right)^2 — \left( 2a x^{\frac{m+n}{2mn}} \right)^2 =
\]

\[
= \left( x^{\frac{1}{m}} + x^{\frac{1}{n}} — 2a x^{\frac{m+n}{2mn}} \right) \left( x^{\frac{1}{m}} + x^{\frac{1}{n}} + 2a x^{\frac{m+n}{2mn}} \right) =
\]

\[
= x^{\frac{m+n}{2mn}} \left( x^{-\frac{m-n}{2mn}} + x^{\frac{m-n}{2mn}} — 2a \right) \left( x^{\frac{1}{m}} + x^{\frac{1}{n}} + 2a x^{\frac{m+n}{2mn}} \right);
\]

Второй множитель:
\[
x^{-\frac{m-n}{2mn}} + x^{\frac{m-n}{2mn}} — 2a = \frac{1}{a + \sqrt{a^2 — 1}} + a + \sqrt{a^2 — 1} — 2a =
\]

\[
= \frac{1}{a + \sqrt{a^2 — 1}} + \left( \sqrt{a^2 — 1} — a \right) = \frac{1 + (a^2 — 1) — a^2}{a + \sqrt{a^2 — 1}} = 0;
\]

Ответ: \( 0 \).

1. Исходное выражение:

\[
x = \left( a + \sqrt{a^2 — 1} \right)^{\frac{2m}{m-n}}
\]

1. В данном выражении мы видим, что \( x \) зависит от параметров \( a \), \( m \) и \( n \). Это выражение определяет значение \( x \) как степенную функцию, где показатель степени зависит от разности \( m-n \). Таким образом, \( x \) представляет собой сложное выражение, включающее как \( a \), так и квадратный корень \( \sqrt{a^2 — 1} \).

2. Далее рассмотрим следующее выражение:

\[
\left( x^{\frac{1}{m}} + x^{\frac{1}{n}} \right)^2 — 4a^2 x^{\frac{m+n}{mn}} = \left( x^{\frac{1}{m}} + x^{\frac{1}{n}} \right)^2 — \left( 2a x^{\frac{m+n}{2mn}} \right)^2
\]

3. Мы видим, что выражение справа представляет собой разность квадратов, которую можно упростить с помощью формулы \( (a^2 — b^2) = (a-b)(a+b) \). В данном случае это можно применить к выражению вида:

\[
\left( x^{\frac{1}{m}} + x^{\frac{1}{n}} \right)^2 — \left( 2a x^{\frac{m+n}{2mn}} \right)^2
\]

4. Применив разность квадратов, мы получаем:

\[
= \left( x^{\frac{1}{m}} + x^{\frac{1}{n}} — 2a x^{\frac{m+n}{2mn}} \right) \left( x^{\frac{1}{m}} + x^{\frac{1}{n}} + 2a x^{\frac{m+n}{2mn}} \right)
\]

5. Давайте рассмотрим первый множитель:

\[
x^{\frac{m+n}{2mn}} \left( x^{-\frac{m-n}{2mn}} + x^{\frac{m-n}{2mn}} — 2a \right)
\]

6. Второй множитель можно записать как:

\[
\left( x^{\frac{1}{m}} + x^{\frac{1}{n}} + 2a x^{\frac{m+n}{2mn}} \right)
\]

2. Упростим второй множитель:

1. Рассмотрим выражение \( x^{-\frac{m-n}{2mn}} + x^{\frac{m-n}{2mn}} — 2a \). Чтобы упростить его, подставим \( x = \left( a + \sqrt{a^2 — 1} \right)^{\frac{2m}{m-n}} \).

2. Подставим значение \( x \) в выражение второго множителя:

\[
x^{-\frac{m-n}{2mn}} + x^{\frac{m-n}{2mn}} — 2a = \frac{1}{a + \sqrt{a^2 — 1}} + a + \sqrt{a^2 — 1} — 2a
\]

3. Теперь соберём подобные члены в выражении. У нас есть два слагаемых с \( a \), одно — с \( \sqrt{a^2 — 1} \), и одно — с \( \frac{1}{a + \sqrt{a^2 — 1}} \). Выполним упрощение:

\[
= \frac{1}{a + \sqrt{a^2 — 1}} + \left( \sqrt{a^2 — 1} — a \right)
\]

4. Объединим эти два слагаемых, заметив, что первый и второй слагаемые можно привести к общему знаменателю:

\[
= \frac{1 + (a^2 — 1) — a^2}{a + \sqrt{a^2 — 1}} = 0
\]

5. Преобразуем числитель: \( 1 + (a^2 — 1) — a^2 = 0 \), так что числитель дроби равен нулю. Следовательно, вся дробь равна нулю.

3. Заключение:

1. Поскольку второй множитель равен нулю, весь результат выражения также равен нулю.

Ответ: \( 0 \).