ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 945 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Упростите выражение \( \left( a + x^{\frac{1}{2}} \right)^{-\frac{1}{2}} + \left( a — x^{\frac{1}{2}} \right)^{-\frac{1}{2}} \), если \( x = 4(a — 1) \), рассмотрите случаи, когда:
а) \( 1 < a < 2 \);
б) \( a > 2 \).

Упростить выражение:
\[ x = 4(a — 1); \]

\[
\left( a + x^{\frac{1}{2}} \right)^{-\frac{1}{2}} + \left( a — x^{\frac{1}{2}} \right)^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{a + \sqrt{x}}} + \frac{1}{\sqrt{a — \sqrt{x}}} =
\]

\[
= \frac{\sqrt{a — \sqrt{x}} + \sqrt{a + \sqrt{x}}}{\sqrt{(a + \sqrt{x})(a — \sqrt{x})}} = \frac{\sqrt{a — 2\sqrt{a-1}} + \sqrt{a + 2\sqrt{a-1}}}{\sqrt{a^2 — x}};
\]

Если \( k = \sqrt{a — 2\sqrt{a-1}} \) и \( b = \sqrt{a + 2\sqrt{a-1}} \), тогда:

\[
k^2 + b^2 = a — 2\sqrt{a-1} + a + 2\sqrt{a-1} = 2a;
\]

\[
kb = \sqrt{a^2 — 4(a-1)} = \sqrt{a^2 — 4a + 4} = \sqrt{(a-2)^2};
\]

\[
\sqrt{a^2 — x} = \sqrt{a^2 — 4(a-1)} = \sqrt{a^2 — 4a + 4} = \sqrt{(a-2)^2};
\]

1) Если \( 1 < a < 2 \), тогда:

\[
\sqrt{(a-2)^2} = |a-2| = 2-a;
\]

\[
(k + b)^2 = k^2 + 2kb + b^2;
\]

\[
(k + b)^2 = 2a + 2(2-a) = 4;
\]

\[
k + b = \sqrt{4} = 2;
\]

Ответ: \( \frac{2}{2-a} \).

2) Если \( a > 2 \), тогда:

\[
\sqrt{(a-2)^2} = |a-2| = a-2;
\]

\[
(k + b)^2 = k^2 + 2kb + b^2;
\]

\[
(k + b)^2 = 2a + 2(a-2) = 4a — 4;
\]

\[
k + b = \sqrt{4a-4} = 2\sqrt{a-1};
\]

Ответ: \( \frac{2\sqrt{a-1}}{a-2} \).

1. Исходное выражение:

\[
x = 4(a — 1);
\]

1. Подставим значение \( x = 4(a — 1) \) в дальнейшее выражение. Теперь рассмотрим следующее выражение:

\[
\left( a + x^{\frac{1}{2}} \right)^{-\frac{1}{2}} + \left( a — x^{\frac{1}{2}} \right)^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{a + \sqrt{x}}} + \frac{1}{\sqrt{a — \sqrt{x}}}
\]

2. Подставим значение \( x = 4(a — 1) \) и получим следующее выражение:

\[
= \frac{1}{\sqrt{a + \sqrt{4(a-1)}}} + \frac{1}{\sqrt{a — \sqrt{4(a-1)}}}
\]

3. Упростим квадратный корень:

\[
= \frac{1}{\sqrt{a + 2\sqrt{a-1}}} + \frac{1}{\sqrt{a — 2\sqrt{a-1}}}
\]

4. Преобразуем выражение в одну дробь с общим знаменателем:

\[
= \frac{\sqrt{a — 2\sqrt{a-1}} + \sqrt{a + 2\sqrt{a-1}}}{\sqrt{(a + 2\sqrt{a-1})(a — 2\sqrt{a-1})}}
\]

5. Теперь упростим знаменатель, используя формулу разности квадратов \( (a + b)(a — b) = a^2 — b^2 \):

\[
= \frac{\sqrt{a — 2\sqrt{a-1}} + \sqrt{a + 2\sqrt{a-1}}}{\sqrt{a^2 — (2\sqrt{a-1})^2}} =\]

\[\frac{\sqrt{a — 2\sqrt{a-1}} + \sqrt{a + 2\sqrt{a-1}}}{\sqrt{a^2 — 4(a-1)}}
\]

6. Упростим выражение в знаменателе:

\[
= \frac{\sqrt{a — 2\sqrt{a-1}} + \sqrt{a + 2\sqrt{a-1}}}{\sqrt{a^2 — 4a + 4}} =\]

\[\frac{\sqrt{a — 2\sqrt{a-1}} + \sqrt{a + 2\sqrt{a-1}}}{\sqrt{(a-2)^2}}
\]

7. Теперь упростим квадратный корень в знаменателе:

\[
= \frac{\sqrt{a — 2\sqrt{a-1}} + \sqrt{a + 2\sqrt{a-1}}}{|a-2|}
\]

Теперь введем обозначения для упрощения вычислений:

\[
k = \sqrt{a — 2\sqrt{a-1}} \quad \text{и} \quad b = \sqrt{a + 2\sqrt{a-1}}
\]

8. Теперь вычислим \( k^2 \) и \( b^2 \):

\[
k^2 = a — 2\sqrt{a-1}, \quad b^2 = a + 2\sqrt{a-1}
\]

9. Складываем \( k^2 \) и \( b^2 \):

\[
k^2 + b^2 = (a — 2\sqrt{a-1}) + (a + 2\sqrt{a-1}) = 2a
\]

10. Теперь вычислим \( k \cdot b \):

\[
kb = \sqrt{(a — 2\sqrt{a-1})(a + 2\sqrt{a-1})}
\]

11. Используем формулу разности квадратов для \( (a — 2\sqrt{a-1})(a + 2\sqrt{a-1}) \):

\[
kb = \sqrt{a^2 — (2\sqrt{a-1})^2} = \sqrt{a^2 — 4(a-1)} =\]

\[\sqrt{a^2 — 4a + 4} = \sqrt{(a-2)^2}
\]

12. Получаем результат:

\[
kb = |a-2|
\]

13. Теперь вычислим знаменатель \( \sqrt{a^2 — x} \), подставив \( x = 4(a-1) \):

\[
\sqrt{a^2 — x} = \sqrt{a^2 — 4(a-1)} = \sqrt{a^2 — 4a + 4} = \sqrt{(a-2)^2}
\]

14. Таким образом, у нас получается:

\[
\sqrt{a^2 — x} = |a-2|
\]

Теперь рассмотрим два случая:

1) Если \( 1 < a < 2 \):

15. В этом случае \( |a-2| = 2 — a \), так как \( a \) меньше 2:

\[
\sqrt{(a-2)^2} = 2 — a
\]

16. Рассмотрим выражение \( (k + b)^2 \):

\[
(k + b)^2 = k^2 + 2kb + b^2
\]

17. Подставим значения для \( k^2 + b^2 \) и \( kb \):

\[
(k + b)^2 = 2a + 2(2-a) = 4
\]

18. Получаем результат:

\[
k + b = \sqrt{4} = 2
\]

19. Ответ: \( \frac{2}{2-a} \).

2) Если \( a > 2 \):

20. В этом случае \( |a-2| = a — 2 \), так как \( a \) больше 2:

\[
\sqrt{(a-2)^2} = a — 2
\]

21. Рассмотрим выражение \( (k + b)^2 \):

\[
(k + b)^2 = k^2 + 2kb + b^2
\]

22. Подставим значения для \( k^2 + b^2 \) и \( kb \):

\[
(k + b)^2 = 2a + 2(a-2) = 4a — 4
\]

23. Получаем результат:

\[
k + b = \sqrt{4a-4} = 2\sqrt{a-1}
\]

24. Ответ: \( \frac{2\sqrt{a-1}}{a-2} \).