ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 943 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что значение выражения является целым числом:

а) \( 2^{\frac{2}{3}} \cdot (4 + \sqrt{8})^{\frac{1}{3}} \cdot (3 — 2\sqrt{2})^{\frac{1}{6}} \);

в) \( \sqrt[3]{10 + 6\sqrt{3}} + \sqrt[3]{10 — 6\sqrt{3}} \);

б) \( 5^{\frac{2}{3}} \cdot (1 + \sqrt{6})^{\frac{1}{3}} \cdot (7 — 2\sqrt{6})^{\frac{1}{6}} \);

г) \( \sqrt[3]{7 + 5\sqrt{2}} + \sqrt[3]{7 — 5\sqrt{2}} \).

Значение является целым числом:

а)
\[
2^{\frac{1}{2}} \cdot (4 + \sqrt{8})^{\frac{1}{3}} \cdot (3 — 2\sqrt{2})^{\frac{1}{6}} =
\]

\[
= \left( 2^3 \cdot (4 + \sqrt{8})^2 \cdot (3 — 2\sqrt{2}) \right)^{\frac{1}{6}} =
\]

\[
= \left( 8 \cdot (16 + 8\sqrt{8} + 8)(3 — 2\sqrt{2}) \right)^{\frac{1}{6}} =
\]

\[
= \left( (24 + 16\sqrt{2})(24 — 16\sqrt{2}) \right)^{\frac{1}{6}} =
\]

\[
= (576 — 256 \cdot 2)^{\frac{1}{6}} = 64^{\frac{1}{6}} = 2;
\]

Что и требовалось доказать.

б)
\[
5^{\frac{2}{3}} \cdot (1 + \sqrt{6})^{\frac{1}{3}} \cdot (7 — 2\sqrt{6})^{\frac{1}{6}} =
\]

\[
= \left( 5^4 \cdot (1 + \sqrt{6})^2 \cdot (7 — 2\sqrt{6}) \right)^{\frac{1}{6}} =
\]

\[
= \left( 5^4 \cdot (1 + 2\sqrt{6} + 6)(7 — 2\sqrt{6}) \right)^{\frac{1}{6}} =
\]

\[
= \left( 5^4 \cdot (7 + 2\sqrt{6}) \cdot (7 — 2\sqrt{6}) \right)^{\frac{1}{6}} =
\]

\[
= \left( 5^4 \cdot (49 — 24) \right)^{\frac{1}{6}} = \left( 5^4 \cdot 5^2 \right)^{\frac{1}{6}} = 5;
\]

Что и требовалось доказать.

в)
\[
\sqrt[3]{10 + 6\sqrt{3}} + \sqrt[3]{10 — 6\sqrt{3}} = x;
\]

Если \( a = 10 + 6\sqrt{3} \) и \( b = 10 — 6\sqrt{3} \), тогда:

\[
a^3 + b^3 = 10 + 6\sqrt{3} + 10 — 6\sqrt{3} = 20;
\]

\[
a \cdot b = \sqrt[3]{100 — 108} = \sqrt[3]{-8} = -2;
\]

\[
(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3;
\]

\[
(a + b)^3 = 20 + 3ab(a + b) = 20 — 6(a + b);
\]

\[
x^3 = 8, \quad 18 — 6 \cdot 2 = 20 — 12 = 8, \quad x = 2;
\]

Что и требовалось доказать.

г)
\[
\sqrt[3]{7 + 5\sqrt{2}} + \sqrt[3]{7 — 5\sqrt{2}} = x;
\]

Если \( a = 7 + 5\sqrt{2} \) и \( b = 7 — 5\sqrt{2} \), тогда:

\[
a^3 + b^3 = 7 + 5\sqrt{2} + 7 — 5\sqrt{2} = 14;
\]

\[
a \cdot b = \sqrt[3]{49 — 50} = \sqrt[3]{-1} = -1;
\]

\[
(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3;
\]

\[
(a + b)^3 = 14 + 3ab(a + b) = 14 — 3(a + b);
\]

\[
x^3 = 8, \quad 14 — 3 \cdot 2 = 14 — 6 = 8, \quad x = 2;
\]

Что и требовалось доказать.

Значение является целым числом:

а) \( 2^{\frac{1}{2}} \cdot (4 + \sqrt{8})^{\frac{1}{3}} \cdot (3 — 2\sqrt{2})^{\frac{1}{6}} \)

1. Начнём с упрощения каждого выражения. Рассмотрим числитель:

\[
2^{\frac{1}{2}} \cdot (4 + \sqrt{8})^{\frac{1}{3}} \cdot (3 — 2\sqrt{2})^{\frac{1}{6}} = \left( 2^3 \cdot (4 + \sqrt{8})^2 \cdot (3 — 2\sqrt{2}) \right)^{\frac{1}{6}}
\]

2. Теперь расширим выражения внутри скобок:

\[
= \left( 8 \cdot (16 + 8\sqrt{8} + 8)(3 — 2\sqrt{2}) \right)^{\frac{1}{6}}
\]

3. Упростим выражение \( \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \), чтобы получить:

\[
= \left( (24 + 16\sqrt{2})(24 — 16\sqrt{2}) \right)^{\frac{1}{6}}
\]

4. Применим формулу разности квадратов \( (a — b)(a + b) = a^2 — b^2 \):

\[
= (576 — 256 \cdot 2)^{\frac{1}{6}} = 64^{\frac{1}{6}}
\]

5. Получаем значение \( 64^{\frac{1}{6}} = 2 \), и это и есть искомое целое число.

б) \( 5^{\frac{2}{3}} \cdot (1 + \sqrt{6})^{\frac{1}{3}} \cdot (7 — 2\sqrt{6})^{\frac{1}{6}} \)

1. Аналогично предыдущему пункту, начнём с упрощения выражений:

\[
= \left( 5^4 \cdot (1 + \sqrt{6})^2 \cdot (7 — 2\sqrt{6}) \right)^{\frac{1}{6}}
\]

2. Раскроем выражение \( (1 + \sqrt{6})^2 \), получая:

\[
= \left( 5^4 \cdot (1 + 2\sqrt{6} + 6)(7 — 2\sqrt{6}) \right)^{\frac{1}{6}}
\]

3. Упростим выражение \( (7 + 2\sqrt{6})(7 — 2\sqrt{6}) \) с использованием разности квадратов:

\[
= \left( 5^4 \cdot (7 + 2\sqrt{6}) \cdot (7 — 2\sqrt{6}) \right)^{\frac{1}{6}} = \left( 5^4 \cdot (49 — 24) \right)^{\frac{1}{6}}
\]

4. Получаем \( 49 — 24 = 25 \), и продолжаем упрощение:

\[
= \left( 5^4 \cdot 25 \right)^{\frac{1}{6}} = \left( 5^6 \right)^{\frac{1}{6}} = 5
\]

5. Это и есть искомое целое число.

в) \( \sqrt[3]{10 + 6\sqrt{3}} + \sqrt[3]{10 — 6\sqrt{3}} = x \)

1. Обозначим \( a = 10 + 6\sqrt{3} \) и \( b = 10 — 6\sqrt{3} \). Тогда, по формуле для суммы кубов:

\[
a^3 + b^3 = 10 + 6\sqrt{3} + 10 — 6\sqrt{3} = 20
\]

2. Умножим \( a \cdot b \), используя формулу для произведения двух выражений:

\[
a \cdot b = \sqrt[3]{100 — 108} = \sqrt[3]{-8} = -2
\]

3. Теперь используем формулу для суммы кубов:

\[
(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3
\]

4. Подставляем вычисленные значения и упрощаем:

\[
(a + b)^3 = 20 + 3ab(a + b) = 20 — 6(a + b)
\]

5. Получаем кубическое уравнение:

\[
x^3 = 8, \quad 18 — 6 \cdot 2 = 20 — 12 = 8, \quad x = 2
\]

6. И это и есть нужное целое число.

г) \( \sqrt[3]{7 + 5\sqrt{2}} + \sqrt[3]{7 — 5\sqrt{2}} = x \)

1. Пусть \( a = 7 + 5\sqrt{2} \) и \( b = 7 — 5\sqrt{2} \). Тогда, аналогично предыдущей задаче, имеем:

\[
a^3 + b^3 = 7 + 5\sqrt{2} + 7 — 5\sqrt{2} = 14
\]

2. Умножим \( a \cdot b \):

\[
a \cdot b = \sqrt[3]{49 — 50} = \sqrt[3]{-1} = -1
\]

3. Используем формулу для суммы кубов:

\[
(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3
\]

4. Подставляем значения и упрощаем:

\[
(a + b)^3 = 14 + 3ab(a + b) = 14 — 3(a + b)
\]

5. Получаем кубическое уравнение:

\[
x^3 = 8, \quad 14 — 3 \cdot 2 = 14 — 6 = 8, \quad x = 2
\]

6. И это и есть нужное целое число.