ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 942 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что значение выражения не зависит от \( n \) (\( n \in \mathbb{Z} \)):

а) \( \frac{\left( 25^n — 5^{2n} — 2 \right)^{\frac{1}{2}}}{\left( 125^{n-1} — 61 \cdot 5^{3n} — 6 \right)^{\frac{1}{3}}} \);

б) \( \frac{\left( 16^{n-1} — 16^{n-2} \right)^{\frac{1}{4}}}{\left( 8^{n-2} + 7 \cdot 8^{n-3} \right)^{\frac{1}{3}}} \).

Значение не зависит от числа \( n \):

а)
\[
\frac{\left( 25^n — 5^{2n-2} \right)^{\frac{1}{2}}}{\left( 125^{n-1} — 61 \cdot 5^{3n-6} \right)^{\frac{1}{3}}} = \frac{\left( 5^{2n} — \frac{5^{2n}}{5^2} \right)^{\frac{1}{2}}}{\left( \frac{5^{3n}}{125} — 61 \cdot \frac{5^{3n}}{5^6} \right)^{\frac{1}{3}}} =
\]

\[
= \frac{5^n \left( 1 — \frac{1}{25} \right)^{\frac{1}{2}}}{5^n \left( \frac{1}{5^3} — \frac{61}{5^6} \right)^{\frac{1}{3}}} = \frac{5^2 (25 — 1)^{\frac{1}{2}}}{5 (125 — 61)^{\frac{1}{3}}} = \frac{5 \cdot \sqrt{24}}{\sqrt[3]{64}} = \frac{5 \sqrt{6}}{2};
\]

Что и требовалось доказать.

б)
\[
\frac{\left( 16^{n-1} — 16^{n-2} \right)^{\frac{1}{4}}}{\left( 8^{n-2} + 7 \cdot 8^{n-3} \right)^{\frac{1}{3}}} = \frac{\left( \frac{2^{4n}}{16} — \frac{2^{4n}}{16^2} \right)^{\frac{1}{4}}}{\left( \frac{2^{3n}}{8^2} + 7 \cdot \frac{2^{3n}}{8^3} \right)^{\frac{1}{3}}} =
\]

\[
= \frac{2^n \left( \frac{1}{16} — \frac{1}{16^2} \right)^{\frac{1}{4}}}{2^n \left( \frac{1}{8^2} + \frac{7}{8^3} \right)^{\frac{1}{3}}} = \frac{8 (16 — 1)^{\frac{1}{4}}}{2^2 (8 + 7)^{\frac{1}{3}}} = \frac{2 \sqrt[4]{15}}{\sqrt[3]{15}};
\]

Что и требовалось доказать.

Значение не зависит от числа \( n \):

а)

Рассмотрим дробь:

\[
\frac{\left( 25^n — 5^{2n-2} \right)^{\frac{1}{2}}}{\left( 125^{n-1} — 61 \cdot 5^{3n-6} \right)^{\frac{1}{3}}}
\]

1. Для начала мы перепишем числитель и знаменатель с использованием простых степеней с основанием 5.

Числитель: \( 25^n = 5^{2n} \), а \( 5^{2n-2} = \frac{5^{2n}}{5^2} \). Таким образом, числитель преобразуется в:

\[
25^n — 5^{2n-2} = 5^{2n} — \frac{5^{2n}}{5^2} = 5^{2n} \left( 1 — \frac{1}{25} \right)
\]

Знаменатель: \( 125^{n-1} = \frac{5^{3n}}{125} \) и \( 5^{3n-6} = \frac{5^{3n}}{5^6} \). Заменим в знаменателе, получаем:

\[
125^{n-1} — 61 \cdot 5^{3n-6} = \frac{5^{3n}}{125} — 61 \cdot \frac{5^{3n}}{5^6} = 5^{3n} \left( \frac{1}{5^3} — \frac{61}{5^6} \right)
\]

2. Теперь числитель и знаменатель можно записать следующим образом:

\[
\frac{\left( 5^{2n} \left( 1 — \frac{1}{25} \right) \right)^{\frac{1}{2}}}{\left( 5^{3n} \left( \frac{1}{5^3} — \frac{61}{5^6} \right) \right)^{\frac{1}{3}}}
\]

3. Вынесем множители, содержащие степени 5, и упростим:

\[
= \frac{5^n \left( 1 — \frac{1}{25} \right)^{\frac{1}{2}}}{5^n \left( \frac{1}{5^3} — \frac{61}{5^6} \right)^{\frac{1}{3}}}
\]

4. После сокращения на \( 5^n \), остаётся:

\[
= \frac{5^2 \left( 25 — 1 \right)^{\frac{1}{2}}}{5 \left( 125 — 61 \right)^{\frac{1}{3}}}
\]

5. Вычисляем внутри корней и кубических корней:

Числитель: \( 25 — 1 = 24 \), значит \( \sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6} \).

Знаменатель: \( 125 — 61 = 64 \), значит \( \sqrt[3]{64} = 4 \).

6. Получаем окончательное выражение:

\[
= \frac{5 \cdot 2\sqrt{6}}{4} = \frac{5 \sqrt{6}}{2}
\]

И это и есть нужный результат, который не зависит от \( n \).

б)

Рассмотрим дробь:

\[
\frac{\left( 16^{n-1} — 16^{n-2} \right)^{\frac{1}{4}}}{\left( 8^{n-2} + 7 \cdot 8^{n-3} \right)^{\frac{1}{3}}}
\]

1. Начнём с числителя. \( 16^{n-1} = \frac{2^{4n}}{16} \), а \( 16^{n-2} = \frac{2^{4n}}{16^2} \). Подставим эти выражения в числитель:

\[
16^{n-1} — 16^{n-2} = \frac{2^{4n}}{16} — \frac{2^{4n}}{16^2}
\]

2. Теперь перепишем знаменатель. \( 8^{n-2} = \frac{2^{3n}}{8^2} \), а \( 8^{n-3} = \frac{2^{3n}}{8^3} \). Подставляем эти выражения в знаменатель:

\[
8^{n-2} + 7 \cdot 8^{n-3} = \frac{2^{3n}}{8^2} + 7 \cdot \frac{2^{3n}}{8^3}
\]

3. Теперь заменим числитель и знаменатель в дроби, получая:

\[
\frac{\left( \frac{2^{4n}}{16} — \frac{2^{4n}}{16^2} \right)^{\frac{1}{4}}}{\left( \frac{2^{3n}}{8^2} + 7 \cdot \frac{2^{3n}}{8^3} \right)^{\frac{1}{3}}}
\]

4. Вынесем общий множитель \( 2^n \) из числителя и знаменателя:

\[
= \frac{2^n \left( \frac{1}{16} — \frac{1}{16^2} \right)^{\frac{1}{4}}}{2^n \left( \frac{1}{8^2} + \frac{7}{8^3} \right)^{\frac{1}{3}}}
\]

5. После сокращения на \( 2^n \), получаем:

\[
= \frac{8 \left( 16 — 1 \right)^{\frac{1}{4}}}{2^2 \left( 8 + 7 \right)^{\frac{1}{3}}}
\]

6. Вычисляем выражения внутри корней и кубических корней:

Числитель: \( 16 — 1 = 15 \), значит \( \sqrt[4]{15} \) остаётся как есть.

Знаменатель: \( 8 + 7 = 15 \), значит \( \sqrt[3]{15} \) остаётся как есть.

7. Получаем окончательное выражение:

\[
= \frac{2 \sqrt[4]{15}}{\sqrt[3]{15}}
\]

Это и есть результат, который также не зависит от \( n \).