ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 941 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Сократить дробь:

а) \( \frac{a — 3a^{\frac{1}{2}}}{a + 3a^{\frac{1}{2}}} \);

в) \( \frac{x^{1.5} + y^{1.5}}{x^{1.5} — xy^{0.5} + x^{0.5}y} \);

д) \( \frac{c^{0.6} + d^{0.9}}{c^{0.2} + d^{0.3}} \);

б) \( \frac{x^{1.5} — y^{1.5}}{xy^{0.5} — x^{0.5}y} \);

г) \( \frac{b — b^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{1}{3}} — 1} \);

е) \( \frac{a + b}{a — a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{2}{3}}} \).

Сократить дробь:

а) \( \frac{a — 3a^{\frac{1}{2}}}{a + 3a^{\frac{1}{2}}} = \frac{a^{\frac{1}{2}}\left(a^{\frac{1}{2}} — 3\right)}{a^{\frac{1}{2}}\left(a^{\frac{1}{2}} + 3\right)} = \frac{\sqrt{a} — 3}{\sqrt{a} + 3}; \)

б) \( \frac{x^{1.5} — y^{1.5}}{xy^{0.5} — x^{0.5}y} = \frac{(x^{0.5} — y^{0.5})(x + x^{0.5}y^{0.5} + y)}{x^{0.5}y^{0.5}(x^{0.5} — y^{0.5})} = \frac{x + \sqrt{xy} + y}{\sqrt{xy}}; \)

в) \( \frac{x^{1.5} + y^{1.5}}{x^{1.5} — xy^{0.5} + x^{0.5}y} = \frac{(x^{0.5} + y^{0.5})(x — x^{0.5}y^{0.5} + y)}{x^{0.5}(x — x^{0.5}y^{0.5} + y)} = \frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{\sqrt{x}}; \)

г) \( \frac{b — b^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{1}{3}} — 1} = \frac{b^{\frac{1}{3}}\left(b^{\frac{2}{3}} — 1\right)}{b^{\frac{1}{3}} — 1} = \frac{b^{\frac{1}{3}}\left(b^{\frac{1}{3}} — 1\right)\left(b^{\frac{1}{3}} + 1\right)}{b^{\frac{1}{3}} — 1} = b^{\frac{2}{3}} +b^{\frac{1}{3}}\)

д) \( \frac{c^{0.6} + d^{0.9}}{c^{0.2} + d^{0.3}} = \frac{(c^{0.2} + d^{0.3})(c^{0.4} — c^{0.2}d^{0.3} + d^{0.6})}{c^{0.2} + d^{0.3}} = c^{0.4} — c^{0.2}d^{0.3} + d^{0.6}; \)

е) \( \frac{a + b}{a — a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{2}{3}}} = \frac{\left(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}\right)\left(a^{\frac{2}{3}} — a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}\right)}{a^{\frac{1}{3}}\left(a^{\frac{2}{3}} — a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}\right)} = \frac{a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}}}; \)

а) \( \frac{a — 3a^{\frac{1}{2}}}{a + 3a^{\frac{1}{2}}} \)

1. Рассмотрим числитель и знаменатель. В числителе у нас \( a — 3a^{\frac{1}{2}} \), а в знаменателе \( a + 3a^{\frac{1}{2}} \). Мы видим, что оба выражения содержат общий множитель \( a^{\frac{1}{2}} \), который можно вынести.

2. Выносим \( a^{\frac{1}{2}} \) из числителя и знаменателя:

\( a — 3a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{2}}\left(a^{\frac{1}{2}} — 3\right) \)

\( a + 3a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{2}}\left(a^{\frac{1}{2}} + 3\right) \)

3. Подставляем эти выражения обратно в дробь:

\( \frac{a^{\frac{1}{2}}\left(a^{\frac{1}{2}} — 3\right)}{a^{\frac{1}{2}}\left(a^{\frac{1}{2}} + 3\right)} \)

4. Теперь видим, что в числителе и знаменателе есть общий множитель \( a^{\frac{1}{2}} \), который можно сократить. После сокращения остается:

\( \frac{a^{\frac{1}{2}}\left(a^{\frac{1}{2}} — 3\right)}{a^{\frac{1}{2}}\left(a^{\frac{1}{2}} + 3\right)} = \frac{\sqrt{a} — 3}{\sqrt{a} + 3} \)

б) \( \frac{x^{1.5} — y^{1.5}}{xy^{0.5} — x^{0.5}y} \)

1. Начнем с числителя. \( x^{1.5} — y^{1.5} \) можно разложить как разность кубов, поскольку \( x^{1.5} = x^{0.5} \cdot x \) и \( y^{1.5} = y^{0.5} \cdot y \). Разность кубов разлагается по формуле:

\( a^{3} — b^{3} = (a — b)(a^2 + ab + b^2) \)

Используем эту формулу для разложения числителя:

\( x^{1.5} — y^{1.5} = (x^{0.5} — y^{0.5})(x + x^{0.5}y^{0.5} + y) \)

2. Теперь рассмотрим знаменатель. \( xy^{0.5} — x^{0.5}y \) можно переписать как разницу двух произведений, и выделить общий множитель \( x^{0.5}y^{0.5} \):

\( xy^{0.5} — x^{0.5}y = x^{0.5}y^{0.5}(x^{0.5} — y^{0.5}) \)

3. Подставляем полученные выражения в исходную дробь:

\( \frac{(x^{0.5} — y^{0.5})(x + x^{0.5}y^{0.5} + y)}{x^{0.5}y^{0.5}(x^{0.5} — y^{0.5})} \)

4. После сокращения одинаковых множителей \( (x^{0.5} — y^{0.5}) \), остаётся:

\( \frac{x + \sqrt{xy} + y}{\sqrt{xy}} \)

в) \( \frac{x^{1.5} + y^{1.5}}{x^{1.5} — xy^{0.5} + x^{0.5}y} \)

1. Рассматриваем числитель \( x^{1.5} + y^{1.5} \). Мы можем разложить его как сумму квадратов, используя схему аналогичную разности квадратов. Это можно записать как:

\( x^{1.5} + y^{1.5} = (x^{0.5} + y^{0.5})(x — x^{0.5}y^{0.5} + y) \)

2. В знаменателе выделяем общий множитель \( x^{0.5} \), который даст нам:

\( x^{1.5} — xy^{0.5} + x^{0.5}y = x^{0.5}(x — x^{0.5}y^{0.5} + y) \)

3. Подставляем полученные выражения в исходную дробь и сокращаем одинаковые множители:

\( \frac{(x^{0.5} + y^{0.5})(x — x^{0.5}y^{0.5} + y)}{x^{0.5}(x — x^{0.5}y^{0.5} + y)} \)

4. После сокращения получаем окончательное выражение:

\( \frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{\sqrt{x}} \)

г) \( \frac{b — b^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{1}{3}} — 1} \)

1. В числителе можно вынести общий множитель \( b^{\frac{1}{3}} \), так как оба слагаемых содержат этот множитель:

\( b — b^{\frac{1}{3}} = b^{\frac{1}{3}}\left(b^{\frac{2}{3}} — 1\right) \)

2. Теперь выражаем дробь и подставляем результат в числитель и знаменатель:

\( \frac{b^{\frac{1}{3}}\left(b^{\frac{2}{3}} — 1\right)}{b^{\frac{1}{3}} — 1} \)

3. После сокращения \( b^{\frac{1}{3}} — 1 \) в числителе и знаменателе остаётся:

\( b^{\frac{2}{3}} +b^{\frac{1}{3}} \)

д) \( \frac{c^{0.6} + d^{0.9}}{c^{0.2} + d^{0.3}} \)

1. В числителе можно выделить общий множитель \( c^{0.2} + d^{0.3} \), так как это общий множитель в обоих слагаемых числителя. Разлагаем числитель на два множителя:

\( c^{0.6} + d^{0.9} = (c^{0.2} + d^{0.3})(c^{0.4} — c^{0.2}d^{0.3} + d^{0.6}) \)

2. Теперь выражаем дробь с выделением общего множителя в числителе:

\( \frac{(c^{0.2} + d^{0.3})(c^{0.4} — c^{0.2}d^{0.3} + d^{0.6})}{c^{0.2} + d^{0.3}} \)

3. После сокращения на \( c^{0.2} + d^{0.3} \) получаем:

\( c^{0.4} — c^{0.2}d^{0.3} + d^{0.6} \)

е) \( \frac{a + b}{a — a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{2}{3}}} \)

1. В числителе раскладываем выражение \( a + b \) на множители, используя формулу разности кубов:

\( a + b = \left(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}\right)\left(a^{\frac{2}{3}} — a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}\right) \)

2. В знаменателе выделяем общий множитель \( a^{\frac{1}{3}} \), что дает:

\( a — a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{1}{3}}\left(a^{\frac{2}{3}} — a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}\right) \)

3. Подставляем полученные выражения в исходную дробь и сокращаем:

\( \frac{\left(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}\right)\left(a^{\frac{2}{3}} — a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}\right)}{a^{\frac{1}{3}}\left(a^{\frac{2}{3}} — a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}\right)} \)

4. После сокращения получаем окончательную форму:

\( \frac{a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}}} \)